Die Norm von einer Nicht-Einheit aus dem Ganzheitsring ist größer eins?

Question

Aufgabe:

Ich lese gerade das Buch Algebraische Zahlentheorie von Jürgen Neukirch.
Er schriebt (Seite 17 Kapitel I Abschnitt 3 Ideale) das jede Nicht-Einheit von einem Ganzheitsring in ein Produkt von irreduziblen Elementen zerfällt und jetzt der Teil den ich nicht verstehe. Wieso ist die Norm dieser Elemente im Betrag größer 1 ?

Also ein Produkt $$\alpha = \beta \gamma$$ mit

$$1 < \left| N _ { K | \mathbb { Q } } ( \beta ) \right| < \left| N _ { K | \mathbb { Q } } ( \alpha ) \right| , \quad 1 < \left| N _ { K | \mathbb { Q } } ( \gamma ) \right| < \left| N _ { K | \mathbb { Q } } ( \alpha ) \right|$$

Answer 1

Ein Element \(\alpha\) des Ganzzahlrings ist genau dann eine Einheit,

wenn die Norm \(N(\alpha)\) eine Einheit in den ganzen Zahlen ist, also wenn

\(N(\alpha)\in \{\pm 1\}\) ist. Für die Beträge von Nichteinheiten muss

also \(|N(\alpha)|> 1\) gelten.