Schnittpunkt zweier Geraden in Parameterform

Question

Aufgabe:

Eine Gerade g₁ verläuft durch die Punkte [1;0]^T und [3;1]^T

Eine weitere Gerade g₂ verläuft durch die Punkte [0;4]^T und [1;1]^T

Problem/Ansatz:

Als erstes habe ich beide der Geraden in die Geradengleichung eingesetzt und ausgerechnet:

$$ g_1:\vec{t_1} = \left(\begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right) + t_1 \left(\begin{array}{l}{3} \\ {1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{1+3t_1} \\ {t_1}\end{array}\right) $$

$$ g_2:\vec{t_2} = \left(\begin{array}{l}{0} \\ {4}\end{array}\right) + t_2 \left(\begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{t_2} \\ {4+t_2}\end{array}\right) $$

Nun habe ich die ausgerechneten Geraden Zeilenweise gleichgesetzt:

$$ I:  1+3 t_1 = t_2 $$

$$ II:   t_1 = 4+t_2 $$

Anschließend habe ich II - I gemacht um t₂ wegzubekommen:

$$ t_1 - (1+3 t_1) = 4+t_2 - t_2 $$

$$ t_1 - (1+3 t_1) = 4 $$

$$ t_1 - (1+3 t_1) = 4 $$

AUSKLAMMERN:

$$ -1-3t_1+t_1 = 4 $$

$$ -1-2t_1 = 4  | +1$$ 

$$ -2t_1 = 5 |*-1  /2$$

$$ t_1 = -2,5 $$

Nun setze ich t₁ in die 1. Gleichung ein damit ich t₂ rausbekomme:

$$ 1+3 t_1 = t_2 $$

$$ 1+3 * (-2,5) = t_2 $$

$$ 1-7,5 = t_2 $$

$$ -6,5 = t_2 $$

Ich verstehe allerdings nicht genau, warum ich hier beim Einsetzen der Geradengleichung 2 Werte rauskriege, nämlich -2,5 und -6,5.

Bin mir ziemlich sicher, dass ich das so oder so ähnlich immer gelöst hatte. Das sind aber mittlerweile 4-5 Jahre her...

Ich weiß leider nicht mehr wie ich da zwei t-Werte nun zu einem Schnittpunkt zusammenfasse / angebe.

Würde mich freuen, wenn Ihr da Ansätze hättet.

Answer 1

Ich verstehe allerdings nicht genau, warum ich hier beim Einsetzen der Geradengleichung 2 Werte rauskriege, nämlich -2,5 und -6,5.

Bin mir ziemlich sicher, dass ich das so oder so ähnlich immer gelöst hatte. Das sind aber mittlerweile 4-5 Jahre her...

Ich weiß leider nicht mehr wie ich da zwei t-Werte nun zu einem Schnittpunkt zusammenfasse / angebe.

In deinem Ansatz verwendest du t1 und t2 in zwei verschiedenen Bedeutungen (Komponenten der Ortsvektoren und Parameter in der Geradengleichung). Mache dir das anhand einer Skizze klar und unterscheide die Bezeichnungen eindeutig.

Answer 2

Neue Version nach Rolands Hinweis, dass die Geradengleichungen falsch waren

Geradengleichungen aufstellen

g1: X = [1, 0] + r·([3, 1] - [1, 0]) = [1, 0] + r·[2, 1]
g2: X = [0, 4] + s·([1, 1] - [0, 4]) = [0, 4] + s·[1, -3]

Zur Schnittpunktbestimmung Geraden gleichsetzen

[1, 0] + r·[2, 1] = [0, 4] + s·[1, -3]
r·[2, 1] - s·[1, -3] = [0, 4] - [1, 0]

Das gibt folgendes lineares Gleichungssystem

2·r - s = -1
r + 3·s = 4    I - 2·II

- 7·s = -9 → s = 9/7

2·r - (9/7) = -1 → r = 1/7

Schnittpunkt berechnen

S = [1, 0] + 1/7·[2, 1] = [9/7, 1/7]
S = [0, 4] + 9/7·[1, -3] = [9/7, 1/7]

Comments

@Mathecoach: Du gehst davon aus, dass die Geradengleichungen bereits richtig vom FS angegeben wurden. Das ist aber nicht der Fall.

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Alte Version mit den unrichtigen Geradengleichungen

g1: X = [1, 0] + r * [3, 1]
g2: X = [0, 4] + s * [1, 1]

Gleichsetzen um Schnittpunkt zu bestimmen

[1, 0] + r * [3, 1] = [0, 4] + s * [1, 1]
r * [3, 1] - s * [1, 1] = [0, 4] - [1, 0]

Das liefert jetzt ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten

3r - s = -1
r - s = 4

I - II

2r = -5 → r = -2.5

Um den Schnittpunkt zu bekommen kannst du das jetzt für r in g1 einsetzen.

S = [1, 0] - 2.5 * [3, 1] = [-6.5, -2.5]

Man kann auch noch s ausrechnen

-2.5 - s = 4 → s = -6.5

Und das für s in g2 einsetzen

S = [0, 4] - 6.5 * [1, 1] = [-6.5, -2.5]

Du siehst das der Schnittpunkt auf beiden Geraden liegt und zwar für die berechneten Werte für r und s.

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Du gehst davon aus, dass die Geradengleichungen bereits richtig vom FS angegeben wurden. Das ist aber nicht der Fall.

Danke Roland für den Wertvollen Hinweis. Man sollte doch immer die gesamte Angabe lesen :)

Ich habe die Rechnung nochmals neu gemacht indem ich auch die Geraden richtig aufgestellt habe.

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Die Beiden Werte hatte ich ja auch raus, ob ich die jetzt t₁ und t₂ benannt habe

oder s und r spielt ja erstmal keine Rolle (oder?).

$$ t_1 = -2,5 $$

$$ t_2 = -6,5 $$

Dann war meine Berechnung doch richtig und es hat mir doch quasi nur noch das Einsetzen einer der Variablen in deren Geradengleichungen gefehlt?

Einsetzen in g₁

$$ \left(\begin{array}{l}{1+3*t_1} \\ {t_1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{1-7,5} \\ {-2,5}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{-6,5} \\ {-2,5}\end{array}\right)$$

Einsetzen in g₂
$$ \left(\begin{array}{l}{t_2} \\ {4+t_2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{-6,5} \\ {4-6,5}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{-6,5} \\ {-2,5}\end{array}\right)$$

Da nun beide auch die gleichen Ergebnisse liefern, hatte ich t1 & t2 richtig gelöst

und mein Ergebnis für den Schnittpunkt der beiden Geraden wäre:

$$ SP = \left[\begin{array}{l}{-6,5} \\ {-2,5}\end{array}\right] $$

Wäre das richtig?

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Deine Geradengleichung waren verkehrt daher auch der Schnittpunkt.

Der richtige Schnittpunkt lautet:

S = [1, 0] + 1/7·[2, 1] = [9/7, 1/7]

Siehe "Neue Version nach Rolands Hinweis, dass die Geradengleichungen falsch waren"

Answer 3

Beide Geradengleichungen sind so nicht richtig. Der Richtungsvektor muss als "Differenz der gegebenen Punkte" berechnet werden. Richtungsvektor g₁: \( \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \). Richtungsvektor g₂: \( \begin{pmatrix} -1\\3 \end{pmatrix} \).  Siehe neue Antwort vom Mathecoach.