Wie stelle ich eine gebrochenrationale Funktion auf?

Question

Aufgabe:

ich soll eine gebrochenrationale Funktion aufstellen mit folgenden Eigenschaften :

Polstelle be x= -1( doppelt), Nullstelle bei x=2 (einfach) und x=3 (doppelt), Definitionslücke bei x=1 und lim f(x)=2 . Berechnen Sie die Asymptote..

Ich verstehe das mit dem Limes nicht.. wie mache ich das ?

Answer 1

Ich vermute mal, dass der letzte Teil heißen soll: "behebbare Definitionslücke bei x=1 mit \( \lim\limits_{x\to 1} \) f(x) = 2"?

Dann einfach normal mit den Angaben aufstellen und anschließend den Limes gleich 2 setzen um den Faktor a zu bekommen:

$$\lim_{x\to 1}f(x) = \lim_{x\to 1}\frac{a(x-2)(x-3)^2(x-1)}{(x+1)^2(x-1)}=a\lim_{x\to 1}\frac{(x-2)(x-3)^2}{(x+1)^2}=-a=2\Leftrightarrow a=-2$$

Ausmultiplizieren und Polynomdivision führt zu:

$$f(x)=\frac{-2x^4+18x^3-58x^2+78x-36}{x^3+x^2-x-1}=-2x+20+\frac{-80x^2+100x-16}{x^3+x^2-x-1}$$

Die Asymptote für \(x\to \pm \infty\) ist also \(a(x)=-2x+20\)

Es ist hilfreich, wenn man wenigstens die Aufgaben korrekt und vollständig angibt. ;)

Comments

Das macht Sinn. Ich gebe mal einen Daumen.

Answer 2

Berechnen Sie die Asymptote..

Wichtig: Berechnen Sie die Asyptote ist etwas anderes als stellen sie die Funktion auf.  Die Funktion ist so wie sie dort steht nicht eindeutig definiert. Das bedeutet du kannst nicht DIE Funktion aufstellen sondern höchstens EINE Funktion aufstellen.

Horizontale Asymptote richtet sich nach dem Grenzwert im Unendlichen also

y = 2

Vertikale Asymptoten richten sich nach der Polstelle also

x = -1

Comments

Eine Funktion könnte denke ich wie folgt aussehen

f(x) = 2·((x - 2)·(x - 3)^2·(x - 1)) / ((x + 1)^2·(x - 1)·(x + k))

k müsste noch passend gewählt werden. Es kommen unendlich viele Werte in Frage. Allerdings müssten ein paar ausgeschlossen werden. Warum und welche?

Answer 3

Es ist so hier gemeint:$$\lim_{x\to \infty} f(x)=2$$

Das ist die Asymptote von f.

Comments

Das ist eine waagerecchte Asymptote.