Hi Marie,
f(x)=x^2(x−2)^3
f′(x)=x(x−2)^2(5x−4)
Das ist soweit richtig.
Ebenfalls richtig ist f'(x) = 0 zu suchen.
Dann aber gehst Du nicht mehr sauber vor!
Bedenke: Ein Produkt ist dann 0, wenn es min. ein Faktor ist!
Folglich kannst Du 4 Nullstellen ablesen:
x1,2 = 2
x3 = 4/5
x4 = 0
Mit der zweiten Ableitung erkennst Du an der Stelle x = 0 einen Hochpunkt. Auf beiden Seiten befindet sich also ein Abfall der y-Werte.
Bei x = 4/5 findest Du einen Tiefpunkt (zweite Ableitung) -> Auf beiden Seiten steigen die y-Werte
Bei x = 2 haben wir eine doppelte Nullstelle. Da das die Ableitung ist, haben wir hier einen Wendepunkte (doppelte Nullstelle der Ableitung -> Wendestelle).
Links werden die y-Werte kleiner und rechts steigen sie (kann man leicht argumentieren über das generelle Aussehen einer Funktion 5ten Grades -> rechts muss es gegen unendlich gehen und links kommen wir vom Tiefpunkt)
Grüße