Bestimmen Sie Punkte mit der waagerechte Tangente und beschreiben Sie das Kurvenverhalten in der Nähe dieser Punkte

Question

Ich hab noch ein Porblem bei einer weitern Frage und hoffe auf HIlfe!
also:
F(x)=x2(x−2)3
f′(x)=(x−2)2(5x−4)
Bestimmen Sie die Punkte mit waagerechte Tangente. Beschreiben Sie das Kurvenverhalten in der Umgebung dieser Punkte.
waagerechter Tangente =m beträgt 0, das ist mir bewusst.
Folglich habe ich dann die 1. Ableitung gleich 0 gesetzt.
Also:
0=x(x−2)2(5x−4)
0=x(x2−4x+4)(5x−4)→ wegen dem Binom
0=x(5x2−20x2+20x−4x2+16x−16)
0=x(−19x2+36x−16)
0=−19x3+36x2−16x

(keine Ahnung ob das bis hierhin stimmt!)
dann dachte ich an Subsitution
also z=x3
0=−19z2+36z−16
dann hab ich die abc- Formel angwendet und bekam total seltsame Ergebisse...ich hoffe mir kann jemand helfen!!

Answer 1

Hi Marie,

f(x)=x^2(x−2)^3
f′(x)=x(x−2)^2(5x−4)

Das ist soweit richtig.

Ebenfalls richtig ist f'(x) = 0 zu suchen.

Dann aber gehst Du nicht mehr sauber vor!

Bedenke: Ein Produkt ist dann 0, wenn es min. ein Faktor ist!

Folglich kannst Du 4 Nullstellen ablesen:

x_1,2 = 2

x₃ = 4/5

x₄ = 0

 

Mit der zweiten Ableitung erkennst Du an der Stelle x = 0 einen Hochpunkt. Auf beiden Seiten befindet sich also ein Abfall der y-Werte.

Bei x = 4/5 findest Du einen Tiefpunkt (zweite Ableitung) -> Auf beiden Seiten steigen die y-Werte

Bei x = 2 haben wir eine doppelte Nullstelle. Da das die Ableitung ist, haben wir hier einen Wendepunkte (doppelte Nullstelle der Ableitung -> Wendestelle).

Links werden die y-Werte kleiner und rechts steigen sie (kann man leicht argumentieren über das generelle Aussehen einer Funktion 5ten Grades -> rechts muss es gegen unendlich gehen und links kommen wir vom Tiefpunkt)

 

Grüße