Bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender Reihe.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender Reihe.

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{k}}} \) zⁿ

Problem/Ansatz:

Ich habe als Folge \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}} \) genommen, für den Konvergenzradius braucht man den \( \lim\limits_{n\to\infty} \)sup\( \sqrt[n]{|a_n|} \). Den habe ich mit dem Einschließungskriterium auf 1 bekommen, also habe ich dass die Potenzreihe den Konvergenzradius r=1 hat.

Ich bin mir bei meiner Herangehensweise aber echt nicht sicher, stimmt das so oder habe ich einen Fehler gemacht? Ich glaube die Folge habe ich falsch gewählt.

Answer 1

Mit Cauchy-Hadamard folgt:$$r=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} - \frac{1}{n+1}}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}} \\  = \lim\limits_{n\to\infty} 1 -\frac{1}{(n+1)\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}} = 1$$

Comments

EDIT:

Mit Euler* folgt: