DGL mit Substitution

Question

Aufgabe:

x' - 6 = (6t - 3x + 2)^2

Problem/Ansatz:

dieses Problem würde ich mit u(t) = 6t - 3x(t) + 2 lösen

u'(t) = 6 - 3x'(t)  ich weiß aber nicht wie ich dann einsetzen muss...

Comments

Hi,

das ist schon ein guter Ansatz! :)

Löse nun u'(t) = 6 - 3x'(t) nach x' auf und setze das oben ein. Dann Trennung der Variablen um integrieren zu können.

Grüße

Answer 1

(I) y' - 6 = (6t - 3y + 2)^2

(Substitution

(II) u = 6t-3y

daraus folgt

(IIa) u' = 6 - 3y'
(IIb) y' = (6 - u')/3
(IIc) y = (-u+6t)/3

(IIa und IIb) eingesetzt in (I)

(6 - u')/3 - 6 = ( u+2 )^2
-1/3 u' - 4 = ( u+2 )^2
u' = -3 ( u^2 + 4u + 8 )
u' / ( u^2 + 4u + 8 ) = -3

du/dt / ( u^2 + 4u + 8 ) = -3

Beide Seiten integrieren

Integral du/dt / ( u^2 + 4u + 8 ) dt = Integral -3 dt

Integral du / ( u^2 + 4u + 8 ) = Integral -3 dt

Es gilt

Integral 1/ ( u^2 + 4u + 8 ) du = 1/2 arctan((u+2)/2)

1/2 arctan((u+2)/2) = -3t + C1

u = 2 tan (-6t + 2C1) - 2

Und aus (IIc) folgt y

Answer 2

Hallo

du löst u'(t) = 6 - 3x'(t) nach x' auf x'=1/3*(6-u'(t)) und das in die Dgl ergibt

6-u'=3u^2 oder u'=6-3u^2

Gruß lul

Answer 3

u=6t -3x+2

x = 1/3 (-u +6t+2)

x'=1/3 (-u' +6)

in die DGL einsetzen:

1/3 (-u' +6) -6 =u^2 ->Trennung der Variablen