Erwartungswert (Anzahl der Durchführung gegen unendlich)

Question

Liebe Lounge,

es wäre super, wenn ihr mir bei den folgenden zwei Fragen helfen könntet:

1. Angenommen die theoretische Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses X sei äußerst gering, $$ \text{z. B. } \dfrac{1}{1000^{10}}. $$ Nimmt man nun an, dass der Zufallsversuch n mal durchgeführt wird und es gilt n --> ∞. Gilt dann, dass man erwartet, dass das Ereignis m mal eintritt mit m --> ∞?

2. Wie verhält sich das Ganze, wenn man Folgendes (zugegeben sehr theoretisch) annimmt:

Sei P(X)=\( \frac{1}{n} \) mit n --> ∞. Der Versuch werde m mal ausgeführt mit m --> ∞.

Erwartet man nun, dass das Ereignis 1 mal eintritt?

Ich hoffe die Fragen sind so verständlich gestellt und freue mich auf eure Antworten.

Danke.

Liebe Grüße

Kombinatrix

Answer 1

Deine Idee zu 1 stimmt. Der Erwartungswert wird unendlich groß.

Deine Idee zu 2 ist leider fehlerhaft. n * p = ∞ * 1/∞ ist ein unbestimmter Ausdruck. Da kann ein Grenzwert herauskommen oder aber es divergiert.

Comments

Okay, zu 1):

Kann man dann verbalisieren, dass das Eintreten eines Ereignisses, egal wie klein dessen Wahrscheinlichkeit ist, sicher ist, wenn man die Durchführungsanzahl n gegen unendlich laufen lässt?

Oder müsste man sagen, "fast sicher", weil es auch bei unendlich vielen Durchführungen möglich ist, dass es nicht eintritt?

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Und dieser Erwartungswert wäre ja kein klassischer Erwartungswert der Form

E(X)=\( \sum\limits_{i∈I}^{\ }{x_i p_i} \) oder? Weil p_i wäre zwar die theoretische Wahrscheinlichkeit aber x_i wäre in dem Fall ja kein Wert der Zufallsvariable, sondern die Anzahl der Durchführungen?

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Man müsste eher davon sprechen,

welche relative Häufigkeit man bei einer unendlich häufigen Durchführung erwartet oder?

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Oder müsste man sagen, "fast sicher", weil es auch bei unendlich vielen Durchführungen möglich ist, dass es nicht eintritt?

Unendlich ist keine Zahl mit der du rechnen kannst. Ich hätte fast sicher gesagt weil es auch die Wahrscheinlichkeit gibt das das Ereignis nicht eintritt auch wenn die Wahrscheinlichkeit dafür unendlich klein wird und deren Grenzwert 0 ist.

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welche relative Häufigkeit man bei einer unendlich häufigen Durchführung erwartet oder?

Das hängt vom Einzelfall ab was mehr Sinn macht. Es absolut oder relativ anzugeben.

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Unendlich ist keine Zahl mit der du rechnen kannst. Ich hätte fast sicher gesagt weil es auch die Wahrscheinlichkeit gibt das das Ereignis nicht eintritt auch wenn die Wahrscheinlichkeit dafür unendlich klein wird und deren Grenzwert 0 ist.

Wie würde man das formale aufschreiben? Mithilfe des Binomialkoeffizienten? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis mindestens einmal auftritt?

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Und dieser Erwartungswert wäre ja kein klassischer Erwartungswert der Form ...

Da hast du jetzt die falsche Formel erwischt. Bzw. eine ungünstige.

Du gehst du von einer Bernoulli-Kette aus. Dann wäre es günstiger mit E(X) = n * p zu rechnen.

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Das hängt vom Einzelfall ab was mehr Sinn macht. Es absolut oder relativ anzugeben.

Hmm, so meinte ich die Frage nicht.

Als anderes Beispiel: Würfel mit Zahlen 1-6. Man bezahlt 10 Cent pro Wurf und bekommen bei einer 1 50 Cent und bei einer 3 40 Cent ausgezahlt.

Jetzt ist ja E(X)= 0,4 * 1/6 + 0,3 * 1/6 ≈ 0,12 der Erwartungswert, mit X sei der durchschnittlich erwartete Gewinn pro Wurf in Euro.

Bei diesem Erwartungswert spielt ja die Tatsache, wie oft man würfelt keine Rolle (mir ist klar, dass der Erwartungswert sich immer auf eine große Versuchsdurchführung bezieht).

Aber wie würde man nun den Erwartungswert aufschreiben, um auf m zu kommen, mit m-->∞?

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Da hast du jetzt die falsche Formel erwischt. Bzw. eine ungünstige.

Du gehst du von einer Bernoulli-Kette aus. Dann wäre es günstiger mit E(X) = n * p zu rechnen.

Ja. Für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße verstehe ich das auch.

Aber die Frage könnte ja auch sein, wie hoch denn tatsächlich die Wahrscheinlichkeit sei, dass dieses ehr unwahrscheinliche Ereignis bei einer gegen unendliche laufenden Versuchswiederholung mindestens einmal eintritt?

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Sorry, mit der Formel des Erwartungswertes habe ich jetzt verstanden, wie Sie es meinten.

Bleibt die Frage danach, wie man die Wahrscheinlichkeit berechnen könnte für "Mindestens einmal"...

Auch mithilfe einer Bernoulli-Kette?

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Aber die Frage könnte ja auch sein, wie hoch denn tatsächlich die Wahrscheinlichkeit sei, dass dieses ehr unwahrscheinliche Ereignis bei einer gegen unendliche laufenden Versuchswiederholung mindestens einmal eintritt?

Auch das berechnest du mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Das es bei n maliger Wiederholung nicht eintritt wobei n gegen unendlich läuft.

lim n-->∞ p^n = 0 für p ≠ 1

Also läuft es darauf hinaus das der Grenzwert 100% ist.

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lim n-->∞ pn = 0 für p ≠ 1

Sprich p ist in unserem Fall immer noch die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von 1 / 1000¹⁰.

Jetzt bildet man den Grenzwert von lim n --> ∞ (1/1000¹⁰)^n.

Dieser ist 0. Nun rechnet man 1-0=1, also wäre die Wahrscheinlichkeit im Grenzwert 100 %, dass es mindestens einmal eintritt.

Weshalb ist es nun aber nur fast sicher? Also logisch kann ich es nachvollziehen. Aber mathematisch?

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Nein p ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit vom Gegenereignis

p = 1 - 1/(1000^10)

p^n hat als Grenzwert jetzt aber 0 ist das klar ?

Also hat die Wahrscheinlichkeit das es NIE eintritt den Grenzwert von 0.

Also hat die Gegenwahrscheinlichkeit das es mind. einmal eintritt den Grenzwert von 1.

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Nein p ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit vom Gegenereignis

p = 1 - 1/(100010)

pn hat als Grenzwert jetzt aber 0 ist das klar ?

Also hat die Wahrscheinlichkeit das es NIE eintritt den Grenzwert von 0.

Also hat die Gegenwahrscheinlichkeit das es mind. einmal eintritt den Grenzwert von 1.

Natürlich. Mein Fehler. Das ist alles klar.

Was ich jetzt aber nicht verstehe ist, dass man dann sagt, es wäre nur "fast sicher".

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Stell dir eine unendlich lange binäre Ziffernfolge vor die nur die Ziffern 0 und 1 hat.

1 steht für das Eintreten eines Ereignisses und 0 steht für das Nichteintreten.

Kann die Ziffernfolge jetzt nicht nur aus der Ziffer 0 bestehen. Also das das Ereignis nie eintritt?

Auch wenn die Wahrscheinlichkeit dafür unendlich klein ist, kann es trotzdem sein.  Hattest du bereits die Normalverteilung? Dort geht die Einzelwahrscheinlichkeit auch gegen 0. Trotzdem ist es nicht unmöglich das es eintritt.

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Ich hab mal gelesen, dass die WKT, dass es zum Urknall kam, bei etwa 1/10^(10^60) lag, als eigentlich Null ist.

Dennoch gab es den Knall, ohne den es uns nicht gäbe. :)

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Okay vielen Dank für die Antworten.

Dann würde ich gerne nochmal zu Frage 2) kommen.

Der Ausdruck

lim n --> ∞ n*1/n

ist doch vereinfacht

lim n --> ∞ 1/1 = 1 oder nicht?

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Der Ausdruck
lim n → ∞ n*1/n
ist doch vereinfacht
lim n → ∞ 1/1 = 1 oder nicht?

Wenn das n im Zähler mit dem n im Nenner exakt übereinstimmt dann ja.

Du hattest in Frage 2 aber n und m definiert.

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Ist dies also eine Fehler meiner Definition?

Weil im Prinzip sollen die beiden Variablen ja beide gegen unendlich laufen.

Kann man sie dann einfach gleich bezeichnen?

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Nein

n = 5x läuft für x gegen unendlich selber gegen unendlichund

m = 2x läuft für x gegen unendlich selber gegen unendlich. Aber beides unterschiedlich!

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Das heisst, man kann den Erwartungswert bei 2) nicht bestimmen?

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Genau. Das habe ich ja bereits gesagt gehabt.