Durchführung eines linksseitigen Hypothesentests!

Question

Aufgabe:

Bay of Fundy in Kanada ist einer der Orte mit dem größten Tidenhub der Welt. Der Unterschied zwischen dem Höchstwasserstand und dem Niedrigwasserstand infolge der Gezeiten beträgt hier 10-16 Meter.

Die Funktion f(x) = 4 •sin(π/6• t) beschreibt für 0 < 12 in etwa den momentanen Höhenzunahme bzw. -abnahme des Wassers an diesem Ort. [t in Stunden, f(t) in m/h]

Es wird vermutet, dass die Funktion F(t) = - 24/π •cos (π/6 •t) eine Stammfunktion

von f ist.

In Bay of Fundy kann man auch Wale beobachten. Während der Saison beträgt die Wahrscheinlichkeit tatsächlich einen Wal zu sehen täglich 35 Prozent. Ein Tourist besucht den Ort an 5 Tagen.

Umweltaktivisten behaupten, dass sich die tägliche Wahrscheinlichkeit zur Sichtung von Walen von 35 % aufgrund des Klimawandels verringert hat. Der Tourismusverband der Gemeinde bezweifelt diese Aussage und schlägt vor die Aussage auf einem Signifikanzniveau von 5 % zu testen. Die Testung ergab, dass an 26 von 100 Tagen Wale beobachtet wurden.

Analysiere die geschilderte Situation mathematisch, insbesondere mit den Methoden der Analysis (Differential- und Integralrechnung besonderer Funktionen: e-Funktion, trigonometrische Funktionen) und der Stochastik (Binomial- und Normalverteilung, Hypothesentests)

Problem/Ansatz:

Hey,

ich hab diese Aufgabe in Mathe und komme nicht mehr weiter. Mir ist bewusst, dass ich einen linksseitigen Hypothesentest durchführen muss und hierfür muss ich den Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmen. Mit der kumulierten Binomialverteilungstabelle würde mir das leicht fallen, da ich den k Wert dann nur ablesen müsste, jedoch gibt es keine 35%, also kein p= 0,35 in der Tabelle. Wie soll ich den k Wert ohne Tabelle bestimmen? Hat das was mit der Normalverteilung zu tun oder irre ich mich da komplett? Außerdem bin ich mir nicht sicher für was alle Werte in meiner Aufgabenstellung stehen, also was n, p, q und k sind. Den Alpha und Beta Fehler muss ich auch noch ausrechnen, für die ich beide auch die Tabelle brauche, oder?

Ich würde mich sehr über eine schnelle Antwort und eine ausführlichen Erklärung freuen.

Mit freundlichen Grüßen.

Answer 1

Wenn du es dir besonders einfach machen willst, solltest du etwas zum P-Wert lesen.

https://de.wikipedia.org/wiki/P-Wert

Da das jetzt viel zu einfache wäre für eine mündliche Abiprüfung kannst du aber verschiedene Rechenweisen vorstellen.

Also z.B. eine Entscheidungsregel aufstellen. Ich vermute mal du hast die leichten Aufgaben bereits gelöst und nicht mehr hingeschrieben. Ansonsten macht eine Aussage wie "Ein Tourist besucht den Ort an 5 Tagen." Keinen Sinn, wenn es dazu keine Aufgaben gibt. Es sei denn Du sollst dir im Sachkontext Aufgaben dazu ausdenken.

Comments

Genau, ich soll mir Aufgaben dazu ausdenken.

Verstehe ich richtig, dass Sie bei k=26 raus haben?

Mein einziges Problem ist ja, dass ich nicht weiß wie man k ohne Tabelle findet. Wenn es dazu eine Formel gibt, lassen Sie es mich bitte wissen. Ich weiß, dass es eine Binomialverteilung Formel gibt ∑(n über k) usw., aber in der Formel steht ja schon ein k. Kann ich dann nicht einfach versuchen ein paar zahlen hierfür einzusetzen bis ich auf mein Ergebnis komme? Sollte mein Ergebnis dann 0,35 oder 0,05 sein?

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Die kritische Zahl ist die letzte Zahl, die gerade noch zum Annahmebereich zählt. Damit ist die kritische Zahl hier K = 27

Und k = 26 ist der größte Wert für k, für den gilt: P(X ≤ 26) ≤ 5 %

Da sich im symmetrischen 1.645-Sigma-Intervall um den Erwartungswert 90% der Werte befinden, können wir K wie folgt berechnen:

K = n·p - 1.645·√(n·p·(1 - p))

Etwas zu den Sigmaregeln solltest du auch in deinem Mathebuch finden.

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Das heißt mein ablehnungsbereich geht von 0 bis 26 und annahmebereich von 27 bis 100?

Muss ich dann nicht 1,96σ verwenden, weil mein Signifikanzniveau bei 5% liegt und ich somit 95% benutze oder wie kommt man darauf 90% zu benutzen?

Wenn ich es so wie du es oben angegeben hast in den Taschenrechner eingebe habe ich 27,15 raus und wenn ich es mit 1,96σ eingebe bekomme ich 25,65 raus.

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Das heißt mein ablehnungsbereich geht von 0 bis 26 und annahmebereich von 27 bis 100?

Exakt

Muss ich dann nicht 1,96σ verwenden, weil mein Signifikanzniveau bei 5% liegt und ich somit 95% benutze oder wie kommt man darauf 90% zu benutzen?

Nein. Es geht um ein zum Erwartungswert symmetrisches Intervsll von 90 %. Dann liegen symetrisch 5 % vor und 5 % hinter diesem Intervall,

Wenn ich es so wie du es oben angegeben hast in den Taschenrechner eingebe habe ich 27,15 raus und wenn ich es mit 1,96σ eingebe bekomme ich 25,65 raus.

Ja und K = 27 ist der Wert für K wie ich oben gesagt hatte.

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Vielen Dank das hat mir gerade schon mehr geholfen!!

Aber das mit den 90% verstehe ich immer noch nicht, weil das ein einseitiger Test ist, das heißt doch, dass es nur eine Seite, also in dem Fall die linke Seite ist, die 5% beträgt.

So habe ich es auch schon in vorherigen Aufgaben gemacht und die Lösung war richtig, aber wenn ich es jetzt hier mit 95% also 1,96σ machen würde, würde es ja wieder nicht stimmen, da ich dann wieder 25,65 raus hätte und k=27 dann nicht mehr richtig wäre.

Hat die Formel K = n·p - 1.645·√(n·p·(1 - p)) einen Namen?

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Ich hab gerade nochmal geguckt und gesehen, dass ich glaube ich den zweiseitigen und einseitigen Test verwechselt habe und deswegen auch die zwei σ werte verwechselt habe.

Jetzt wo ich den Annahme und Ablehnungsbereich kenne, sollte ich mit der Aufgabe weiter kommen. Falls nicht, hoffe ich , dass ich hier nochmal fragen kann.

Ich danke vielmals.

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Ich habe jetzt den Annahme und Ablehnungsbereich und bin zum Entschluss gekommen, dass die Nullhypothese, also, dass die Wahrscheinlichkeit einen Wal zu sehen bei 35% liegt, abgelehnt wird, da die 26 Beobachtungstage im Ablehnungsbereich liegen. Ist das so richtig interpretiert und eine Antwort auf die Aufgabe?

Muss ich noch irgendwas beachten wie z.B die Aussage, dass ein Tourist den Ort an 5 Tagen besucht?

Answer 2

Zum Nachweis der Stammfunktion, leite diese einmal ab (Kettenregel).

Für den Hypothesentest:

Hast du einen geeigneten Taschenrechner, mit dem du die Werte der Binomialverteilung berechnen kannst? Damit kannst du dann den kritischen Wert ermitteln. Alternativ kannst du, wenn \(\sigma>3\) ist, auch die Normalverteilung als Näherung heranziehen. Dann bräuchtest du das entsprechende Quantil, welches man aus der Tabelle für die Normalverteilung ablesen kann.

Es ist hier \(n=100\) (Tage) und \(p=0,35\). Das \(k\) ist der kritische Wert, den du suchst. Du musst ja untersuchen, ob man bei höchstens 6 Tagen die Nullhypothese verwerfen kann oder nicht.

Kommst du damit schon weiter?

Comments

Die Stammfunktion habe ich mit Hilfe der Kettenregel schon nachgewiesen, danke!

Ich benutze den "CASIO fx-991DEX"  Taschenrechner, mit dem das glaube ich gehen könnte, wenn ich die richtige Formel für die Binomialverteilung benutzen würde.

Wenn ich sigma richtig ausgerechnet habe, sollte es 4,77 ergeben, also ist es größer als 3. Ich habe auch eine Tabelle für die Normlverteilung, aber bin mir nicht sicher, ob das die geignete für mein Problem ist den Annahme- und Ablehungsbereich zu berechnen und mein k zu finden.

ich verstehe das mit den höchsten 6 Tagen nicht. Ich dachte ich muss nur untersuchen, ob die Wahrscheinlichkeit bei 35% liegt oder doch niedriger ist.

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Weißt du im Allgemeinen überhaupt, wie ein Hypothesentest funktioniert? Dein \(\sigma\) stimmt. Beim linksseitigen Test suchst du \(k\), so dass \(P(X\leq k)\leq 0,05\). Da man das mit der Normalverteilung approximieren kann, kann man \(k=\mu - 1,645\sigma\) nutzen.

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Ja, also ich weiß ungefähr wie es geht. Das Problem ist nur, dass ich es sehr lange nicht mehr gemacht habe und, dass alle Aufgaben, die ich sonst bearbeitet habe einfach mit der Bionemialverteilung Tabelle funktionierten.

Für μ habe ich 35 raus, ist das richtig?

Aber woher kommt die -1,645σ?  Ist das eine festgelegte Regel, dass ich genau den Wert bentzen soll?

Vielleicht hilft es zu wissen, dass ich die zei Hypothesen auch schon habe.

H0: p= 0,35

H1: p< 0,35

Ich habe auch schon versucht selber was auszurechnen,weiß aber nicht genau wofür mir das hilft.

Und zwar habe ich den Erwartungswert= 35, die Varianz=22,75 und die Standardabweichung= 4,77 ausgerechnet

Dafür habe ich dann 95% als wahrscheinlichkeitsumgebung genommen, wegen dem Signifikanzniveau 5% und 1,96σ als Radius der Umgebung benutzt, weil daseine festgeschriebene Regel ist, das ich das benutzen muss, aufgrund der 95%.

Dann habe ich 1,96σ • 4,77 = 9,34 gerechnet und das Ergebnis dann einmal von dem Erwartungswert subtrahiert und addiert, wodurch ich dann af die Umgebung (25,45) kam.

Vielleicht hilft es zu wissen, dass ich diese Sachen ausgerechnet habe,aber inwiefern die mir helfen bei meiner Aufgabe bzw.beimeinem Problem weiß ich halt nicht.

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Da meine Frage gelöscht wird, muss ich sie hier in den kommentaren stellen. Ich habe k=27,15 als kritischen Wert und einen linksseitigen test. Geht mein Ablehnungsbereich jetzt von 0 bis 26 oder 27?

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Ich hatte in meiner Antwort geschrieben das K = 27 der letzte Wert im Annahmebereich ist. 27 gehört also in den Annahmebereich und der Ablehnungsbereich geht von 0 bis 26. Das erkennst du auch an meiner Skizze.

Viel Erfolg beim mündlichen Abi.

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Ok also lehne ich die nullhypothese, dass die Wahrscheinlichkeit 35% beträgt ab

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Ja. Wir müssen die Nullhypothese in diesem Fall ablehnen. etwas anderes wäre es, wenn an nur einem Tag mehr Wale beobachtet worden wären. Dann könnten wir die Nullhypothese nicht ablehnen.

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Selbst wenn es 1 Tag wäre, wäre es doch im Ablehnungsbereich oder nicht?

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Wenn es ein Tag wäre dann wäre es im Ablehungsbereich. Wenn es ein Tag mehr als 26 Tage wäre, dann wäre es im Annahmebereich.