Test: Durchführung Alternativtest für Menschen mit Bluthochdruck

Question

Aufgabe:

Viele Menschen leiden unter Bluthochdruck. Die auf dem Markt befindlichen Medikamente helfen bei etwa 60% aller Patienten. Von einem neuen Medikament behauptet der Hersteller, dass es wesentlich wirksamer sei: Patienten sollen sogar in 80% der Fälle von ihrem Leiden befreit werden können. Um die Wirksamkeit des neuen Medikament zu überprüfen, sollen zufällig ausgewählte Patienten mit der neuen Arznei behandelt werden. Damit psychologische Effekte den Heilungsprozess nicht beeinflussen, wird den Patienten nicht mitgeteilt, dass sie das neue Medikament erhalten. Testen sie die Nullhypothese: Heilungswahrscheinlichkeit beträgt p= 0,6, sowie die Alternative p=0,8 jeweils für n= 25;50;100.

mit Hilfe der Entscheidungsregel:

Wenn höchstens 70% geheilt werden ist die Nullhypothese zutreffend, andernfalls die Alternative. Berechnen und interpretieren sie die Wahrscheinlichkeiten der möglicherweise auftretenden Fehler im Hinblick auf die daraus resultierenden Konsequenzen für einen Patienten der unter erhötem Blutdruck leidet.

mit der Vorgabe alpha=< 0,01

Formulieren sie die zugehörige Entscheidungsregel explizit und berechnen sie beta.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe: Test auf die Wirksamkeit eines neuen Medikaments für Bluthochdruck

Um die Wirksamkeit des neuen Medikaments zu prüfen und die angegebene Heilungswahrscheinlichkeit von 80% gegenüber der bisherigen von 60% zu testen, verwenden wir einen statistischen Hypothesentest. Die Nullhypothese (\(H_0\)) behauptet, dass die Heilungswahrscheinlichkeit (\(p\)) 60% beträgt, während die Alternativhypothese (\(H_1\)) besagt, dass \(p\) 80% beträgt.

Entscheidungsregel:

Laut der gegebenen Entscheidungsregel lehnen wir die Nullhypothese ab und akzeptieren die Alternative, wenn mehr als 70% der Patienten geheilt werden. Anderenfalls behalten wir die Nullhypothese bei.

Berechnung von Beta (Fehler 2. Art):

Der Fehler 2. Art (\(\beta\)) tritt auf, wenn \(H_0\) fälschlicherweise beibehalten wird, obwohl \(H_1\) wahr ist. Das bedeutet, wir berechnen \(\beta\) als die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als oder genau 70% der Patienten geheilt werden, obwohl die tatsächliche Heilungswahrscheinlichkeit 80% ist.

Für \(n = 25, 50, 100\) berechnen wir \(\beta\) unter der Annahme, dass \(p = 0,8\) ist.

n = 25:

- Erfolge (\(x\)) für höchstens 70% geheilt: \(0.7 \times 25 = 17.5\). Wir runden ab, da nur ganze Personen geheilt werden können: also maximal 17 Personen.
- Die Wahrscheinlichkeit von höchstens 17 Erfolgen (\(p(X \leq 17)\)) unter \(p = 0,8\) kann mit der Binomialverteilung berechnet werden: \( \beta = \sum_{k=0}^{17} {25 \choose k} (0.8)^k (0.2)^{25-k} \)

n = 50:

- Erfolge (\(x\)) für höchstens 70% geheilt: \(0.7 \times 50 = 35\).
- \( \beta = \sum_{k=0}^{35} {50 \choose k} (0.8)^k (0.2)^{50-k} \)

n = 100:

- Erfolge (\(x\)) für höchstens 70% geheilt: \(0.7 \times 100 = 70\).
- \( \beta = \sum_{k=0}^{70} {100 \choose k} (0.8)^k (0.2)^{100-k} \)

Interpretation:

Die Berechnung von \(\beta\) für jedes \(n\) erfordert die Summation mehrerer Binomialkoeffizienten und kann am effizientesten mit einem statistischen Programm oder einem Taschenrechner durchgeführt werden. Die Ergebnisse würden zeigen, wie wahrscheinlich es ist, dass wir die Nullhypothese fälschlicherweise beibehalten, obwohl das neue Medikament tatsächlich wirksamer ist. Je kleiner \(\beta\) ist, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers.

Konsequenzen eines Fehlers 2. Art für Patienten:

Ein hoher \(\beta\)-Wert bedeutet, dass Patienten eine effektivere Behandlung durch das neue Medikament möglicherweise verpassen, weil die Daten nicht ausreichen, um die überlegene Wirksamkeit statistisch nachzuweisen. In der Praxis bedeutet dies, dass einige Patienten nicht die bestmögliche Behandlung für ihren Bluthochdruck erhalten, was ihre Lebensqualität und Gesundheit beeinträchtigen könnte.

Beachte, dass zur exakten Berechnung von \(\beta\) für jede Gruppe (n = 25, 50, 100) spezifische statistische Software oder umfangreiche manuelle Berechnungen erforderlich wären.