Ist die Gruppe S:= (1,2,3) abelsch?

Question

Ist die Gruppe S₃:= S({1,2,3}) abelsch?

abelsch bedeutet ich muss prüfen ob das kommutativgesetz gilt, oder?

Aber wie mache ich das? Da es eine Gruppe ist, bedeutet dass das Assoziativgesetz gilt und es ein neutrales und ein inverses Element gibt oder?

 

WIe kann ich diese Aufgabe lösen? Wär toll wenn jemand helfen kann

Comments

Du hast nur eine Menge hingeschrieben, keine Gruppe.

Das was du vermutlich meinst ist eine Gruppe, aber keine abelsche Gruppe.

Man kann also ein Gegenbeispiel zur Kommutativität finden.

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ich weiß ich stehe vor dem selben problem aber so lautet meine Aufgabe tatsächlich wörtlich

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Dann wäre eine Blick ins Skript sinnvoll wo sicherlich die Verknüpfung für diese Gruppe steht.

Sollte das auch dort nicht zu finden sein, beschweren beim Aufgabensteller wegen unzureichender Angabe.

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Damit sich der Aufgabensteller denkt, wie nett, nächstes Mal stelle ich mehr Angaben zur Verfügung.

Answer 1

die symmetrische Gruppe \( S_3 \) ist nicht kommutativ. Man beachte dazu die Elemente

\( a: (1, 2, 3) \mapsto (2, 3, 1) \)

und

\( b: (1, 2, 3) \mapsto (1, 3, 2) \).

Es gilt

\( a \circ b: (1, 2, 3) \mapsto (3, 2, 1) \)

und

\( b \circ a: (1, 2, 3) \mapsto (2, 1, 3) \).

Offenbar ist \( a \circ b \neq b \circ a \).

MfG

Mister

PS: Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/S3_%28Gruppe%29 . Die Verknüpfungstafel ist nicht symmetrisch an der Diagonalen und die Verknüpfung folglich nicht kommutativ.