Für welche α, β, γ existieren die Integrale?

Question

Aufgabe:

Für welche \(\displaystyle\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\) existieren
(i) \(\displaystyle\int_0^\infty x^\alpha e^{\beta x}dx\),
(ii) \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{lnx}{x^\gamma}dx\)?
Berechnen Sie gegebenenfalls den Wert des Integrals.
Hinweis zu (i): Schätzen sie die Integranden bei 0 und \(\displaystyle\infty\) geeignet ab.

Problem/Ansatz:

Mit (i) kann ich leider nichts anfangen, wie geht man da am besten vor?
Für (ii) habe ich über partielle Integration \(\displaystyle -\frac{x^{1-\gamma}((\gamma-1)ln(x)+1)}{(\gamma-1)^2}+C\) als Stammfunktion. Daraus folgt, dass \(\displaystyle \gamma\neq 1\). Kann man hierfür einen Wert angeben?

Answer 1

Hallo

zu ii) ln(x)/x hat die Form  f*f'=1/2(f^2)' d.h, für γ=1 ist deine partielle Integration falsch und das Integral ist 1/2*(ln(x))^2 ob es für γ≠1 richtig ist, hab ich nicht überprüft.

i) ist bei 0 für α<0 unendlich, bei oo für β<0 immer konvergent, da e^-rx schneller abnimmt als jede positive Potenz und e+rx stärker wächst als  jede negative Potenz von x (siehe Reihe von e^x))

Gruß ledum

Comments

Ich habe die selbe Aufgabe zu beantworten.

i.) habe ich verstanden.

Könntest du aber nochmal ii.) etwas genauer erklären? da hänge ich. Ist das integral nicht für alle γ≠1 erfüllt? also das gesuchte?