Stellen Sie das Gleichungssystem für ein quadratisches Polynom mit folgenden...

Question

Aufgabe:

Stellen Sie das Gleichungssystem fr ein quadratisches Polynom mit folgenden Interpolationsbedingungen in Matrizenform auf:

f(1) = 0

f'(1) = 2

f(2) = 1

Seien f und g zwei quadratische Splinesegmente auf den Intervallen [1;2] und [2;3]

Zusätzlich zu den o.g. Bedingungen gelte nun

g(2) = f(2);

g'(2) = f'(2);

g(3) = 5

Erweitern Sie das System so, dass man die Koeffizienten für f und g daraus berechnen kann.

Problem/Ansatz:

Die Gleichungen sind ja folgende:

$$ f(x)=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2} $$

$$ f'(x)=c_{1}+2c_{2} x $$

Die Interpolationsbedingungen in Matrizenform konnte ich auch bereits aufstellen:

$$ \left[\begin{array}{lll}{1} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {2} \\ {1} & {2} & {4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{c_{0}} \\ {c_{1}} \\ {c_{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{0} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right] $$

Mein Problem liegt darin, dass ich nicht weiß, wie ich das System erweitern kann um die Koeffizienten von f & g daraus zu berechnen.

Würde mich freuen, wenn Ihr Ansätze, Beispiele hierfür habt, die mir weiterhelfen würden.

Comments

So würde ich das auch machen. Allerdings hast du ja hier g in keiner Hinsicht berücksichtigt?

Ich weiß leider nicht wie ich das System um g erweitern kann?

kommt da einfach die Bedingung g(3) = 5 dazu und es wird kubisch statt quadratisch?

Da das ja Splinesegmente sind und die Bedingungen von g(2) und g'(2) durch f(2) und f'(2) bereits abgedeckt werden liegt die Vermutung halt Nahe, dass ich g(3) zu meinem System hinzufüge und mein Polynom ein Polynom dritten Grades wird statt zweiten Grades.

Da ich mit meiner Vermutung nicht sicher bin, wollte ich nochmal nachfragen ob das so gemacht werden muss.

Answer 1

Du erweiterst das System einfach um die drei (unbekannte) Koeffizienten von \(g(x)\). Es sei $$g(x)= d_0 +d_1x + d_2x^2$$ und stellst für \(g(x)\) dieselben Gleichungen auf wie für \(f\). Anschließend schreibst Du alles in einer Matrix zusammen

$$\begin{pmatrix}1& 1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0& 0& 0\\ 1& 2& 4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 2& 4\\ 0& 0& 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 1& 3& 9\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_0\\c_1 \\ c_2 \\ d_0 \\ d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 2 \\ 1 \\ 1\\ \colorbox{#ffff00}{g'(2)} \\ 5 \end{pmatrix}$$

Das Problem ist nun, dass \(g'(2)\) nicht gegeben ist. Gegeben ist aber die Bedingung \(f'(2)=g'(2)\). Ersetze also die 5. Zeile der Matrix durch \(-f'(2) + g'(2)= 0\). Also:$$\begin{pmatrix}1& 1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0& 0& 0\\ 1& 2& 4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 2& 4\\ 0& -1& -4& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0& 1& 3& 9\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_0\\c_1 \\ c_2 \\ d_0 \\ d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 2 \\ 1 \\ 1\\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$$Zur Kontrolle: der Lösungsvektor ist$$ \begin{pmatrix} c_0\\c_1 \\ c_2 \\ d_0 \\ d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\ 4\\ -1\\ 17\\ -16\\ 4\end{pmatrix}$$

~plot~ (-3+4x-x^2)*(x>1)*(x<2);(17-16x+4x^2)*(x>2)*(x<3);[[-1|8|-1|6]];{1|0};{2|1};{3|5} ~plot~

Comments

Wollte mich bedanken und nur mal an einer Stelle nochmal nachhaken:

es sollte dann ja möglich sein:

-f'(2)+g'(2) = 0 zu machen (so wie Sie es vorgeschlagen haben)

aber auch

-g'(2) + f'(2) = 0

weil das eine ja den anderen quasi aufhebt sollte also beides möglich sein oder verwechsel ich gerade da irgendetwas ? :)

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... aber auch
-g'(2) + f'(2) = 0

ja natürlich. Das entspricht ja nur einer Multiplikation der 5.Gleichung mit einem Faktor (hier \(-1\)). Das ändert an der Lösung des Gleichungssystems rein gar nichts.

Answer 2

Ich würde ein lineares Gleichungssystem daraus machen. Für \( \begin{pmatrix} c_1\\c_2\\c_3 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} c\\b\\a \end{pmatrix} \) heißt dieses:

a+b+c=0

2a+b=2

4a+2b+c=1

Dies zu lösen dürfte kein Problem sein.

Comments

So würde ich das auch machen. Allerdings hast du ja hier g in keiner Hinsicht berücksichtigt?





Ich weiß leider nicht wie ich das System um g erweitern kann?

kommt da einfach die Bedingung g(3) = 5 dazu und es wird kubisch statt quadratisch?

Da das ja Splinesegmente sind und die Bedingungen von g(2) und g'(2) durch f(2) und f'(2) bereits abgedeckt werden liegt die Vermutung halt Nahe, dass ich g(3) zu meinem System hinzufüge und mein Polynom ein Polynom dritten Grades wird statt zweiten Grades.



Da ich mit meiner Vermutung nicht sicher bin, wollte ich nochmal nachfragen ob das so gemacht werden muss.

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Von 'Spline' verstehe ich nichts. Jede zusätzliche Bedingung erhöht den Grad des Polynoms um 1.