2 Personen beobachten einen Heißluftballon aus 2 versch. Perspektiven. Wie hoch ist er?

Question

Aufgabe: Merle und Meryem beobachten jeweils von ihrem Wohnort aus einen Heißluftballon, der zw. Ihnen steht. Bestimme mithilfe der Angaben in der Figur, wie hoch sich der Ballon über dem Erdboden befindet.

Answer 1

alpha = 50 °
beta = 70 °
gamma = 180 - 50 - 70 = 60 °
c = 3 km

Sinussatz
sin(alpha ) / a = sin(beta) / b = sin(gamma ) / c

sin ( 50 ) / a = sin ( 70 ) / b = sin ( 60 ) / 3

sin ( 50 ) / a = sin ( 60 ) / 3
a ?

usw

Comments

Ich sehe gerade es wurde nach der Höhe
gefragt.

alpha, beta, gamma, a,b,c sind nunmehr
bekannt.
sin ( alpha ) = h / b

Mit Werten
sin ( 70 ) / b = sin ( 60 ) / 3
b = 3.255 km
sin ( alpha ) = h / b
sin ( 50 ) = h / 3.255
h = 2.494 km

Answer 2

Aloha :)

Stell dir vor, die Höhe \(H\) wäre als vertikale Linie eingezeichnet, sie startet am Ballon und geht gerade runter, bis sie die 3km-Basislinie berührt. Diese Höhe steht senkrecht auf der Basislinie und teilt diese am Berührpunkt in einen linken Teil \(B_1\) und einen rechten Teil \(B_2\). Nun gilt:$$\tan50°=\frac{H}{B_1}\quad;\quad \tan70°=\frac{H}{B_2}\quad;\quad B_1+B_2=3$$$$\Rightarrow H=B_1\tan50°\quad\text{und}\quad H=B_2\tan70°=(3-B_1)\tan70°$$$$\Rightarrow B_1\tan50°=(3-B_1)\tan70°=3\tan70°-B_1\tan70°$$$$\Rightarrow B_1\tan50°+B_1\tan70°=3\tan70°$$$$\Rightarrow B_1(\tan 50°+\tan 70°)=3\tan70°$$$$\Rightarrow B_1=\frac{3\tan70°}{\tan 50°+\tan 70°}\approx2,0924$$$$\Rightarrow H=B_1\tan50°\approx2,4936$$Der Ballon ist also etwa 2,5km hoch.

Answer 3

Innenwinkelsumme

γ = 180° - α - β = 180° - 50° - 70° = 60°

Sinussatz

a = c·sin(α)/sin(γ) = 3·sin(50°)/sin(60°) = 2.654

Sinus

h = a·sin(β) = 2.654·sin(70°) = 2.494 km