Darstellende Matrix bzgl. symmetrischer Bilinearform

Question

Aufgabe:

Sei q: ℝ³→ℝ die quadratische Form                                 q(x,y,z)=x²-y²+4xy+6xz-4yz

Nun soll ich die darstellende Matrix berechnen der durch q bestimmten symmetrischen Bilinearform ℝ³xℝ³→ℝ

Problem/Ansatz:

Ich hab keine Ahnung. Ich würd mich über einen Ansatz freuen.

Answer 1

Nun,

stellst die koeffizienten in eine matrix

q(x,y,z)={{1,2,3},{2,-1,-2},{3,-2,0}}{x,y,z}

Answer 2

siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Bilinearform#Koordinatendarstellung

Hier also Matrix  M =

 1    2    3
2    -1    -2
3    -2     0

Kurz: In der Diagonalen stehen die Koeffizienten der quadratischen Teile

und an den anderen Stellen immer die Hälfte der

Koeffizienten der gemischten Produkte.

Comments

Auf die Hauptdiagonale die 1, -1, 0  komm ich rechnerisch auch drauf.

Aber beispielsweise in der ersten Spalte die zweite Zeile, also die 2 da komm ich nicht drauf.

Ich hab dafür folgendes berechnet ⟨e₁,e₂⟩=4, aber das ist keine zwei. Was mach ich da falsch?

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Ich glaube, das beide Antwortgeber nicht so ganz genau

gelesen haben und doe Matrix der quadratischen Form,

bzw. der zugehörigen Quadrik erstellt haben.  Das "Bi" macht

da natürlich schon was aus.  Geht dann wohl gemäß

http://www.math.uni-leipzig.de/~schueler/linalg/kapitel7.pdf

Beispiel 7.2.(c).  Also ist die Bilinearform

gegeben durch

$$<\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix},\begin{pmatrix} x\\y \\z \end{pmatrix}>= q(\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix})*q(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix})$$

und dann gibt es eine ganz andere Matrix.