Bestimmung der Wendepunkt in einem Sinusfunktion

Question

Aufgabe:

Diese Funktion beschreibt die Außentemperatur:

Ti(t)= 8 . sin (pi/12 (t-10,5)) +20

Diese Funktion beschreibt die Temperatur in einem Nest (Innentemptratur):

TA(t)= 3 . sin (pi/12 (t-11,5)) +32

Wie man merkt, (von Maxima und Minima in den Grafen), es gibt eine zeitliche Verzögerung von einer Stunde im Nest (logisch).

Problem/Ansatz:

Untersuchen Sie, bei welcher Außentemperatur die Temperaturabnahme im Nest maximal ist.

Alles was der damalige Lehrer sagte "Es handelt sich um die zweite Ableitung ".

Ich werde also die zweite Ableitung von Außentemperatur-Funktion berechnet und dann gleich null setzen und dann durch Vorzeichentabelle Wendepunkt bestimmen, und dann eine Stunden addieren zu dem x-wert des Wendepunkt (da Temperatur innen eine Stunde später außen entspricht ). Stimmt das?

Also ich leite ab:

TA'(t)= 8 . cos (pi/12(t-10,5)) . pi/12.1

= 2/3 pi . cos (pi/12 (t-10,5)

TA'' = 2/3 pi . -sin (pi/12 (t-10,5) . pi/12 .1

= -pi^2 / 18 sin (pi/12 (t-10,5)

doch jetzt weiß ich nicht, wie es weitergeht, wie soll ich das gleich null setzen und dann Vorzeichentabelle erstellen?

Und eine andere Frage, kann man nicht die Wendepunkte dem Grafen entnehmen? (Bild hochgeladen)

Answer 1

Untersuchen Sie, bei welcher Außentemperatur die Temperaturabnahme im Nest maximal ist.

Das ist bei der mittleren Temperatur von 20 Grad so. Zeichne dir den Graphen auf und frage dich wo die Wendepunkte liegen.

T(t) = 8·SIN(pi/12·(t - 10.5)) + 20

T'(t) = pi/12·8·COS(pi/12·(t - 10.5))

T''(t) = -pi/12·pi/12·8·SIN(pi/12·(t - 10.5)) = 0

SIN(pi/12·(t - 10.5)) = 0

pi/12·(t - 10.5) = k·pi

t = 12·k + 10.5

Achtung: Dies sind generell die Wendepunkte also dort wo Temperatur Zu- und Abnahme maximal sind.

Temperatur ist aber al all diesen Stellen 20 Grad,

Comments

was ist k? und wie soll man auf 20 kommen wenn man "t=12.k + 10,5" berechnet hat?

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Hallo coach,

kleiner Fehlerhinweis
nicht
T ' (t) = -pi/12·pi/12·8·SIN(pi/12·(t - 10.5)) = 0
sondern
T '' (t) = -pi/12·pi/12·8·SIN(pi/12·(t - 10.5)) = 0

Außerdem meine ich die Funktion der
Innentemperatur müßte genommen werden.

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k ist eine ganze Zahl

Du setzt 12·k + 10.5 für t in die Funktion ein

T(12·k + 10.5) = 8·SIN(pi/12·(12·k + 10.5 - 10.5)) + 20

T(12·k + 10.5) = 8·SIN(pi/12·(12·k) + 20

T(12·k + 10.5) = 8·SIN(pi·k) + 20

T(12·k + 10.5) = 8·0 + 20

T(12·k + 10.5) = 20

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Danke georgborn für dein wachsames Auge.

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das ist der Grad wo die Temperaturabnahme außen maximal ist. also bei x= 10,5 heißt 20 grad. Aber der Grad wo die Abnahme innen maximal ist, muss nach einer Stunde sein, oder? also bei x= 11,5 also 22 grad, oder?

22 ist die Außentemperatur bei der die Abnahme innen maximal ist. richtig?

Answer 2

Mir scheinen die Bezeichnungen bei dir vertauscht
zu sein.
ti = 3 * ... ( Rot )
ta = 8 * ... ( Blau )

Der Wendepunkt der INNENTEMPERATUR ( fallend )
wäre dann zu bestimmen.

Teile mir mit ob ich das so richtig sehe,
dann gehts weiter.

Comments

genau, aber dann muss man rechnen, was das im Außentemperatur entspricht [denn gefragt ist die Außentemperatur, bei der innnen maximale Abnahme ist (wendepunk inmen) ], und das heißt dann, eine Stunde vorher, oder?

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müsste der Wendepunkt in dem Fall eigentlich nicht die Stelle sein, wo der Graf nach Unten geht?

kannst du sie mir in dem innen-grafen zeigen?

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Schwarzer Punkt ( in etwa )

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sorry für die vielen Fragen, aber im Außen-grafen, wo findet man dann diesen Punkt?

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Ich bin aus Kurzweil hier im Forum.
Deine Fragen sind willkommen.

1.Zeile die Funktion für die Innentemperatur
2.Zeile 1.Ableitung
3.Zeile 2.Ableitung
4.Zeile Extrempunkte
5.Zeile Wendepunkte

Rote Kurve
Der erste Extrempunkt liegt bei 5.5 °.
Der erste Wendepunkt bei 11.5 °

Die Funktion wiederholt sich alle 24 Stunden
Die Extrem- und Wendepunkte alle 12 Stunden.

Extrempunkte
12 * k + 5.5
12 * 0 + 5.5 = 5.5 Std
12 * 1 + 5.5 = 17.5
12 * 2 + 5.5 = 29.5
usw

Wendepunkte
12 * k + 11.5 =
12 * 0 + 11.5 = 11.5 ( aufsteigend )
12 * 1 + 11.5 = 23.5 ( absteigend )
12 * 2 + 11.5 = 35.5 ( aufsteigend )

Der Wendepunkt bei 23.5 ist gesuchte Punkt.

Nun noch einsetzen in die Außentemperatur-
funktion t = 23.5
T(23.5) = 8·SIN(pi/12·(23.5 - 10.5)) + 20

Frag nach bis alles klar ist.