Sinusfunktion. Gib die Nullstellen der Ableitung an.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist der Graph einer Funktion h, mit h(x)=sin(1/2 ⋅x). Gibt die Nullstellen der Ableitung h' im Intervall [0;(9∏)/2 an. Dib die Lösung in Dezimalzahlen an.

Problem/Ansatz:

h'(x)=cos(1/2*x)*1/2 = 0

Wie geht es weiter?

Answer 1

cos(1/2*x) = 0

Der cos ist Null bei pi/2, 3/2*pi, 5/2*pi usw,

1/2*x = pi/2, 3/2pi usw

x= pi, 3pi, 5pi, 7pi, 9pi = 3,14, 9,42, ....

Comments

Wie rechne ich das aus? Wir dürfen kein Geogebra verwenden.

Answer 2

Aloha :)

$$h(x)=\sin\left(\frac x2\right)$$$$h'(x)=\cos\left(\frac x2\right)\cdot\frac12=\frac12\sin\left(\frac\pi2-\frac x2\right)$$

Wir haben verwendet, dass per Definition \(\cos(x)=\sin(\frac\pi2-x)\) gilt. Weiter verwenden wir, dass die Nullstellen der Sinus-Funktion alle ganzzahligen Vielfachen von \(\pi\) sind. Die Ableitung wird daher Null, wenn:$$\frac\pi2-\frac x2=n\cdot\pi\quad\text{mit }n\in\mathbb Z\text{ beliebig}$$Wir stellen nach \(x\) um:$$x=\pi-2n\,\pi\quad\text{mit }n\in\mathbb Z\text{ beliebig}$$

Im Intervall von \(\left[0;\frac92\pi\right)\) liegen also die Nullstellen der ersten Ableitung bei:$$x_1=\pi\quad;\quad x_2=3\pi$$

~plot~ 1/2*cos(x/2) ; [[0|16|-1|1]] ; x=9/2*pi ; {pi|0} ; {3pi|0} ~plot~