Stammfunktionsbildung mittels Partialbruchzerlegung und Vorschlägen

Question

Aufgabe:

a )

$$\int_{2}^{x} \frac{8{t}^{5} - 17{t}^{4} + 16{t}^{3} + t + 2}{(4{t}^{4} - 3{t}^{2}-1){(t-1)}^{2}} dt \quad (x \in (1|\infty))$$

b)

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^4{(x)}} dx$$

c)

$$\int_{1}^{x} \frac{t - \sqrt{t} - 1}{2(2\sqrt{t} + t)(1+t)} dt \quad (x \in (0|\infty))$$

d)

$$\int_{x}^{2} \frac{t + \sqrt{t(2-t)} - 1}{(t-1)\sqrt{2t - t^2}} dt \quad (x \in (1|2])$$

Problem/Ansatz:

Was würde ich bei a c und d substituieren, um einfach an die Stammfunktion zu kommen .

Bei der b würde ich $$\cos^4{x}$$ substituieren, und die Stammfunktion wäre dann

$$\ln{(|cos^4(x)|)}$$ mit den Grenzen 0 und pi/4

Answer 1

a) Partialbruchzerlegung

4t^4 -3t^2-1= (4t^2+1)(t-1)(t+1)

--------->

Ansatz:

(8 t^5 -17t^4 +16t^3+t+2)/((4t^4 -3t^2-1)(t-1)^2)

=A/(t+1) +B/(t-1)^3 +C/(t-2)^2 +D/(t-1) + (E*t +F)/(4 t^2+1)

b) ∫ 1/(cos^4(x))dx = ∫(1/(cos^2(x)) *1/(cos^2(x))) dx

1/(cos^2(x)) = 1 +tan^2(x)->siehe Tafelwerk

Substitution : z= tan(x)

c) z= √t ->dann PBZ

d) z=t -1