Aufgabe:
y:(0,∞)→ℝ ist genau dann eine Lösung von y''(x)+\( \frac{a}{x} \) y'(x)+\( \frac{b}{x^2} \) y(x)=0 wenn u(t)=y(e^t) (wichtig y VON e^t nicht y MAL e^t !) Lösung von u''(t)+(a-1)u'(t)+bu(t)=0 ist.
Problem/Ansatz:
Mein Problem ist, dass ich einen Denkanstoß bräuchte. Probiert habe ich: u(t)=y(e^t) in die zweite DGL einsetzen:
y''(e^t)+(a-1)y'(e^t)+by(e^t)=0
Das ist
y''(e^t)+ay'(e^t)-y'(e^t)+by(e^t)=0
Das müsste ich jetzt irgendwie in die erste DGL umformen können, oder nicht?
Und umgekehrt müsste dann ja y(x)=u(ln(x)) sein, was ich in die erste DGL einsetzen könnte und versuchen umzuformen, so dass die zweite rauskommt.
Mein problem ist, dass mir der Entscheidende Gedanke fehlt, wie ich das ganze weiter umformen könnte.
Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?