Minimum von u : xT*P(t)*x=(xT*AT+uT*BT)*P(t)*(Ax+Bu)

Question

Aufgabe:

x und u sind n-dim Vektoren und A,B nxn Matrizen:

(x^T steht für x transponiert)

Minimum von u : x^T=(x^T*A^T+u^T*B^T)*P(t)*(Ax+Bu)

Problem/Ansatz:

ich hab die Gleichung erstmal ausmultipliziert zu:

 (nur von u abh. Terme)

x^T*P(t)*x= .. x^T*A^T*P*B*u + u^T*B^T*P*A*x+ (Bu)^T*P*(Bu)

und dann nach u abgeleitet:

=> 0= .x^T*A^T*P*B + 0 +?

Stimmt es dass der Term u^T*B^T*P*A*x null ergibt? da ich ja nach u und nicht nach u^T ableite.

und was mache ich mit (Bu)^T*P*(Bu), da ja z.B

u^T*P*u

nach u abgeleitet

2 u^T*P ergibt

Vielen dank schonmal

Comments

Du kannst den Ausdruck schreiben als $$x^t = (Ax + Bu)^t P(t) (Ax + Bu)$$

Jetzt ist die linke Seite Vektor und die Rechte Seite ein Skalar. Da stimmt was nicht.

Oder ist die Ausgangsgleichung $$x^t P(t) x = (Ax + Bu)^t P(t) (Ax + Bu)$$

Dann passen wenigstens die Dimensionen. Falls ja, bitte in der Frage entsprechend korrigieren.

---

Und Du bist sicher, dass Du das Minimum bzgl. $u$ finden willst und nicht bzgl. $x$?

---

ja die ausgangsgleichung stimmt mit xT*P(t)*x, war ein Fehler von mir. Ja, ich möchte das Minimum bzgl. u bestimmen.

---

ich kann den Beitrag leider nicht mehr bearbeiten

---

Gibts noch Symmetrie Annahmen? Ist z.B. $P$ eine Kovarianz Matrix und deshalb symmetrisch?

Oder ist $B$ invertierbar?

Answer 1

Das Ausklammern ergibt bei mir

$$x^t P x = x^t A^t P A x + x^t A^t P B u + u^t B^t P A x + u^t B^t P B U$$

Ableiten nach $u$ führt auf

$$0 = x^t A^t P B + x^t A^t P^t B + u^t ( B^t P B + B^t P^t B)$$ also

$$0 = (Ax)^t (P + P^t) B + u^t B^t ( P+P^t) B$$ und damit zu

$$u^t = -(Ax)^t (P+P^t) B \left[ B^t (P+P^t) B \right]^{-1}$$

Wenn $B$ invertierbar ist folgt

$$u^t = - (B^{-1} A x)^t$$