y Lösung von y''(x)+a/x*y'(x)+b/x^2*y(x)=0 <=> u(t)=y(e^t) Lösung von u''(t)+(a-1)u'(t)+bu(t)=0

Question

Aufgabe:

y:(0,∞)→ℝ ist genau dann eine Lösung von y''(x)+\( \frac{a}{x} \) y'(x)+\( \frac{b}{x^2} \) y(x)=0 wenn u(t)=y(e^t) (wichtig y VON e^t nicht y MAL e^t !) Lösung von u''(t)+(a-1)u'(t)+bu(t)=0 ist.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich einen Denkanstoß bräuchte. Probiert habe ich: u(t)=y(e^t) in die zweite DGL einsetzen:

y''(e^t)+(a-1)y'(e^t)+by(e^t)=0

Das ist

y''(e^t)+ay'(e^t)-y'(e^t)+by(e^t)=0

Das müsste ich jetzt irgendwie in die erste DGL umformen können, oder nicht?

Und umgekehrt müsste dann ja y(x)=u(ln(x)) sein, was ich in die erste DGL einsetzen könnte und versuchen umzuformen, so dass die zweite rauskommt.

Mein problem ist, dass mir der Entscheidende Gedanke fehlt, wie ich das ganze weiter umformen könnte.

Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?

Answer 1

Aloha :)

Wir haben hier 2 DGLs, die eine für \(y(x)\) hängt von \(x\) ab, die andere für \(u(t)\) hängt von \(t\) ab. Wir sollen zeigen, dass die Lösung der einen die Lösung der anderen ist, genau dann wenn \(u(t)=y(x=e^t)\). Wir formen zunächst die \(y\)-DGL etwas um:$$\left.y''(x)+\frac{a}{x}y'(x)+\frac{b}{x^2}y(x)=0\quad\right|\;\cdot x^2$$$$y''(x)\cdot x^2+ay'(x)\cdot x+by(x)=0$$$$y''(x)\cdot x^2+y'(x)\cdot x+(a-1)y'(x)\cdot x+by(x)=0$$

Nun gehen wir zunächst allgemein davon aus, dass \(u(t)=u(x(t))\) und leiten die \(u\)-DGL ab:

$$\ddot u(t)+(a-1)\dot u(t)+bu(t)=0$$$$\frac{d^2}{dt^2}u(x(t))+(a-1)\frac{d}{dt}u(x(t))+bu(x(t))=0$$$$\frac{d}{dt}\left(\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\right)+(a-1)\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}+bu=0$$$$\frac{d}{dt}\left(\frac{du}{dx}\right)\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{du}{dx}\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)+(a-1)\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}+bu=0$$$$\frac{d^2u}{dx^2}\cdot\frac{dx}{dt}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{du}{dx}\cdot\frac{d^2x}{dt^2}+(a-1)\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}+bu=0$$$$u''(x)\cdot\dot x^2+u'(x)\cdot\ddot x+(a-1)u'(x)\cdot\dot x+bu(x)=0$$Ein Vergleich der beiden DGLs liefert nun folgende Bedingngen für \(x(t)\):$$x^2=\dot x^2\quad;\quad x=\ddot x\quad;\quad x=\dot x$$Daraus lässt sich \(x(t)\) bestimmen:$$x=\dot x\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{\dot x}{x}=1\;\;\Leftrightarrow\;\;\ln(x)=t+c\;\;\Leftrightarrow\;\;x(t)=e^t\cdot e^c$$Diese Form für \(x(t)\) erfüllt alle 3 Bedingungen, also ist:$$x(t)=\text{const}\cdot e^t$$Ich weiß nicht, ob der Aufgabensteller die Konstante übersehen hat oder \(u(t)=u(\text{const}\cdot e^t)=y(e^t)\) interpretiert hat. Vermutlich das letztere, weil in der Funktion durch die Kostante nicht einfach \(x\) durch \(e^t\) ersetzt wird, sondern die Funktion eine andere Form bekommt, die dann mit \(y\) benannt wurde.