Ist v ∈ V Eigenvektor von f ◦ g zum Eigenwert λ ∈ K und ist g(v) ≠ 0, so ist g(v) Eigenvektor von g ◦ f zum Eigenwert λ.

Question

Gegeben sei ein K-Vektorraum V und lineare Abbildungen f, g : V → V . Beweisen Sie:

a) Ist v ∈ V Eigenvektor von f ◦ g zum Eigenwert λ ∈ K und ist g(v) ≠ 0, so ist g(v) Eigenvektor von
g ◦ f zum Eigenwert λ.

b) Ist V endlichdimensional, so haben f ◦ g und g ◦ f dieselben Eigenwerte.

Answer 1

a) Sei \(\displaystyle f(g(v))=\lambda v\).
Für \(\displaystyle g(v)\neq 0\) folgt: \(\displaystyle g(f(g(v)))=g(\lambda v)=\lambda g(v)\).
Also ist \(\displaystyle \lambda\) Eigenwert von \(\displaystyle g\circ f\) zu Eigenvektor \(\displaystyle g(v)\).

b) Verwende das Gezeigte von a).
Angenommen \(\displaystyle f(v)=0\Rightarrow\lambda v=0\).
Wegen \(\displaystyle v\neq 0\Rightarrow\lambda=0\).
Also ist \(\displaystyle f\circ g\) nicht invertierbar.
\(\displaystyle\Leftrightarrow 0=det(g\circ f)=det(g)\cdot det(f)=det(f\circ g)\), sodass \(\displaystyle f\circ g\) nicht invertierbar.
\(\displaystyle\lambda=0\Rightarrow\lambda\) ist Eigenwert von \(\displaystyle f\circ g\).

Andere Richtung analog.

(Schau lieber nochmal drüber, ist nur aus meinen Notizen vom 1. Semester.)