Auf welchen Mittelwert muss die Anlage eingestellt werden, damit 95% der Flaschen mindestens 1 Liter Inhalt besitzen?

Question

Aufgabe:

Eine Abfüllanlage für 1-Liter-Flaschen liefert zufällige Abfüllmengen, die normalverteilt sind. Lösen Sie die beiden Teilaufgaben unter der Annahme, dass die Standardabweichung  10 ml beträgt:

Auf welchen mittleren Wert müsste die Anlage eingestellt werden, damit 95% der damit abgefüllten Flaschen mindestens 1 Liter Inhalt besitzen?

Problem/Ansatz:

P(1<x<∞)=0,95

z₁=(1-µ)/0,01
z2=1

Tabelle:
δ₁=0,95 -> z₁=1,65

1,65 < (1-µ)/0,01 |*0,01
0,0165 < 1-µ | -1
-0,9835 < -µ | *(-1)
0,9835 < µ

Bis hier her ist mir alles klar. Nun muss ich aber auf die Lösung 1016,4 ml kommen. Dazu muss ich noch

1-0,9835 = 0,0165

rechnen und dann die 16,5 ml zu den 1000ml addieren. Wieso müssen diese beiden Schritte sein?

Answer 1

Auf welchen mittleren Wert müsste die Anlage eingestellt werden, damit 95% der damit abgefüllten Flaschen mindestens 1 Liter Inhalt besitzen?

P(X ≥ x) = 0.95
1 - P(X ≤ x) = 0.95
P(X ≤ x) = 1 - 0.95

Φ((1000 - x)/10) = 1 - 0.95
(1000 - x)/10 = Φ^{-1}(0.05)
(1000 - x)/10 = -1.645
1000 - x = -1.645·10
1000 + 1.645·10 = x --> x = 1016.448536

Comments

Danke für diese Lösung,die sieht sehr viel einfacher aus als meine. Ich bekomme sie aber nicht nach x aufgelöst und verstehe auch nicht, wie genau ich sie aufstellen muss, um an andere Aufgaben ähnlich heranzugehen.

Rechne ich erst auf beiden Seiten *10 und dann -1000 und *(-1) komme ich nicht auf das korrekt Ergebnis.

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Ich habe das oben noch etwas ausführlicher gemacht.

Da solltest du leicht hinterblicken.

Die Normalverteilung und ihre Inverse kannst du mit dem TR berechnen oder in einer Tabelle nachschlagen.

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Ich habe da leider eine ganz andere Herangehensweise gelernt, ich versuche aber weiter deine Lösung nachzuvollziehen. Vielen Dank für die viele Mühe!

Wieso ich bei meiner Herangehensweise am Ende noch 1-0,9835 = 0,0165 rechnen und dann die 16,5 ml zu den 1000ml addieren muss, siehst du auch nicht auf den ersten Blick, oder?

Ich habe ja am Anfang P(1<x<∞)=0,95  korrekt aufgestellt denke ich, denn 95% der Flaschen sollen mindestens 1 Liter Inhalt also 1<x<∞ haben

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P(1 < x < ∞) = 0.95

Das Problem ist doch das die Normalverteilung tabellarisch aufgelistet ist für

Φ(k) = P(-∞ ≤ x ≤ k)

Damit ist dein Ansatz hier schon verkehrt.

Nimm nicht

P(1 < x < ∞) = 0.95

sondern

1 - P(1 < x < ∞) = 1 - 0.95

P(-∞ < x < 1) = 0.05

Rechne jetzt damit mal dein Ergebnis. Dann passt das.

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Danke, so rum passt es! Damit hast du mich gerettet :)

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Nichts anderes habe ich oben übrigens gemacht allerdings hatte ich gleich in Milliliter gerechnet. Das hat dich vielleicht verwirrt.

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Ja, ich glaube das hat mich verwirrt, weil es dann wie eine sehr anders funktionierende Rechnung aussah. Wusste nicht wo die 10 herkam, aber das waren einfach die Milliliter.

Kann man sagen, dass man bei solchen Aufgaben, in denen der Mittelwert für eine Mindestmenge gesucht ist immer die Gegenwahrscheinlichkeit also

P(-∞<x<X) statt P(X<x<∞) nehmen kann?

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Ja. Und eigentlich schreibt man die Grenze mit Unendlich nicht dazu. Und die Zufallsvariable ist das Große X und eine bestimmte Grenze k oder das kleine x.

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Ohja, da habe ich mich mit X und x vertan. ich schreibe sonst P(x₁<X<x₂). Das unendlich schreibe ich mir mit dazu, weil es für mich so logischer aussieht. Schreibe dann in der Klausur wohl lieber beide Varianten. Danke für alles!

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Schreibe dann in der Klausur wohl lieber beide Varianten.

Dann bleib bei deiner. Die ist ja nicht verkehrt nur unüblich. Aber wichtig ist ja das es dir klar ist.