Anfangswertproblem mit Eulerverfahren "lösen"

Question

Heyho, das ist die Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Gegeben sei das Anfangswertproblem } y^{\prime}-y=\frac{1}{5}\left(7 x^{2}-15 x-2\right), y(0)=1 . \text { Es soll im }} \\ {\text { Intervall } I=[0,4] \text { näherungsweise gelöst werden. }}\end{array} $$

$$ \begin{array}{l}{\text { a) Berechnen Sie mit dem Eulerverfahren die in } I \text { liegenden Näherungswerte der }} \\ {\text { Lösungsfunktion für die Schrittweiten } h=1, h=\frac{1}{2} \text { und } h=\frac{1}{10} !}\end{array} $$

$$ \begin{array}{l}{\text { b) Berechnen Sie die exakte Lösung des Anfangswertproblems! }} \\ {\text { c) Stellen Sie die exakte Lösung sowie die Näherungslösungen aus a) grafisch dar! }}\end{array} $$

Das ist mein Problem:

Eigentlich ist das explizite Eulerverfahren ja staright forward, doch das y'-y macht mir zu schaffen.

Ich muss doch das y' alleine da stehen haben...

Stimmt das Ergebnis von WolframAlpha?:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=use+Euler+method+y%27-y+%3D(1)%2F(5)*(7x%5E2-15x-2),+y(0)+%3D+1,+from+0+to+4

Wenn ich das y einfach "rüberziehe" oder ähnliche komme ich trotzdem nicht auf das Ergebnis von WolframAlpha.

Das ist meine Tabelle dazu, aber ohne das -y, da ich nicht weiß woher das kommt oder was ich damit machen soll:

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vZycqBiB2yRTnbA6USxuGDPoxWK72Q1y2Ty5fO9PFF8/edit?usp=sharing

LG

Answer 1

Wenn ich das y einfach "rüberziehe"  ...

ja klar - genau so. Die Gleichung lautet dann: $$y'=\frac 15 \left( 7x^2-15x-2\right) + y$$

aber ohne das -y, da ich nicht weiß woher das kommt oder was ich damit machen soll:

Da es sich hier um ein Anfangswertproblem handelt, ist das 'anfängliche'  \(y(x=0)=1\) gegeben. Und jedes weitere \(y\) wird nach dem Euler-Algorithmus berechnet:$$y_{i+1} = y_i + y'_i \cdot h $$

Ändere das Feld B3 in der Tabelle nach:

$$\text{=B2+$D$2*(((0,2)*(7*A2*A2-15*A2-2))}\colorbox{#ffff00}{+B2}) $$

und übertrage die Änderung auf die Felder der Spalte B da drunter. Und Du kommst exakt auf das Ergebnis von Wolfram-Alpha mit Schrittweitenabgabe.

Comments

Tatsache! Danke dir! Ich habe irgendwie nicht daran geglaubt das es so "einfach" ist...

Noch eine Frage zu b), falls du dort auch helfen könntest.

Ich habe bisher folgendes:

Das Endergebnis sieht laut WolframAlpha ziemlich komisch aus. Also gehe ich mal davon aus, das ich hier etwas ziemlich falsches versuche zu berechnen.

Ich habe es dem Folgendem Video von Daniel Jung nachgemacht:

LG

---

... in der dritte Zeile - da wo kein Gleichheitszeichen drin ist(!) - unterdrückst Du das \(y\). Da müsste eigentlich stehen $$\text{d}y - y\text{d}x = \dots$$und das bringt Dich nicht wirklich weiter.

Löse zunächst den homogenen Anteil \(y'-y=0\), das ist \(y=C_1e^x\) (muss ich nicht erklären - oder?) und dann mit dem Ansatz $$y = C_1 e^x + ax^2+bx+c \quad \implies y' = C_1 e^x + 2ax + b $$weiter machen. Einsetzen in die Ausgangs-DGL$$y' - y = 2ax + b - (ax^2+bx+c)  = \frac 15 \left( 7x^2-15x-2\right) $$Ein Koeffizientenvergleich gibt$$a = -\frac 75 \\ -\frac{14}5  - b = -3 \implies b = \frac 15\\ \frac 15 - c = - \frac 25 \implies c = \frac 35 $$macht alles zusammen$$y=C_1e^x - \frac 75 x^2 + \frac 15 x + \frac 35$$Und Wolfram ist der gleichen Meinung ;-)