Beweisen, dass Funktion g : [π, 2π] → R, g(x) = sin (x/2) − x/ (2π) mindestens eine Nullstelle hat.

Question

Beweisen Sie, dass die Funktion
g : [π, 2π] → R, g(x) = sin (x/2) − x/ (2π)
mindestens eine Nullstelle hat.

EDIT: Fehlende Klammer um 2π ergänzt. Vgl. Diskussionen.

Ich bräuchte bei der Aufgabe Hilfe. Ich hab erstmal π und 2π eingesetzt. Da kommen dann jeweils negative Funktionswerte raus. Den zwischenwertsatz kann man also nicht anwenden. Aber wie kann man es dann beweisen? Ich wäre über Hilfe sehr dankbar. Denn ich denke so eine ähnliche Aufgabe kommt in der Klausur dran.

Comments

Wie heißt die Funktion

g(x) = sin (x/2) − x / ( 2π )
oder
g(x) = sin (x/2) − ( x / 2 ) * π
oder ???

---

g(x) = sin (x/2) − x / ( 2π )

Das Problem mit den Funktionswerten habe ich gelöst.

Bleibt nur noch die Frage, wie das mit der Stetigkeit ist

---

Bleibt nur noch die Frage, wie das mit der Stetigkeit ist

eine Funktion ist stetig, wenn ihre 'Komponenten' alle steig sind. In Deinem Fall handelt es sich um eine Differenz zweier Funktion.

Der Sinunsfunktion, die wiederum selbst eine lineare Funktion \(\frac 12  x\) beinhaltet, und einer lieare Funktion \(\frac 1{2\pi} x\). Alle diese Funktionen sind stetig, folglich ist \(g(x)\) auch stetig.

Answer 1

g(pi) = 1/2

g(2·pi) = -1

Da die Funktion stetig ist und ein Funktionswert größer und der andere kleiner Null ist muss es mindestens einen Funktionswert geben der gleich null ist.

Comments

2 Fragen:

Woran erkenne ich zunächst, dass die Funktion stetig ist?

Und wenn ich jetzt pi und 2 pi in die Funktion einsetzte kommt bei mir was anderes raus :(.

Wärst du vielleicht mal so nett und würdest mir die ganze Rechnung vävorführen? Ich hänge gerade ziemlich auf dem schlauch

---

Und wenn ich jetzt pi und 2 pi in die Funktion einsetzte kommt bei mir was anderes raus :(.

Ja - kommt drauf an, wie die Funktion lautet. Der_Mathecoach ging davon aus, dass das \(\pi\) am Ende im Nenner steht - also:$$g(x) = \sin\left( \frac x2 \right)- \frac x{2 \pi}$$Rein Formal, so wie Du es oben geschrieben hast "g(x) = sin (x/2) −x/2π", müsste es aber lauten:$$g(x) = \sin\left( \frac x2 \right)- \frac x{2} \pi$$

~plot~ sin(x/2)-(x/2)*pi;sin(x/2)-x/(2*pi);x=pi;x=2*pi;[[-1|8|-6|4]] ~plot~
Die rote Funktion mit \(\pi\) im Nenner hat eine Nullstelle im Intervall \([\pi,\,2\pi]\), die blaue - also Deine - hat keine.

---

Ja, den Fehler habe ich auch so in den Taschenrechner eingegeben und dadurch falsches erhalten.

Das mit den funktionswerten hat sich somit geklärt.

Nur wie weise ich die Stetigkeit an der Funktion nach?

---

Nur wie weise ich die Stetigkeit an der Funktion nach?

steht jetzt oben bei Deiner Frage ...

---

Die Summe stetiger Funktionen ist wieder eine stetige Funktion.

Das die lineare Funktion und die Sinusfunktion als Grundfunktionen stetig sind kann man denke ich als gegeben annehmen.

Ich kann das momentan nicht testen aber ich denke der Casio Taschenrechner deutet z.B. 1/2pi als Eingabe als 1/(2*pi) weil Casio der Meinung ist ein weggelassenes Malzeichen erhöht hier die Bindung zwischen der 2 und dem pi.