Summe gleichverteilter Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

Seien X und Y zwei identisch verteilte Zufallsvariablen auf einem Grundraum K. Dann sind X+Y und 2X gleichverteilt. Beweise oder widerlege.

Problem/Ansatz:

Es gilt P(X)= |X|/|K| und P(Y)= |Y|/|K|.

Man betrachtet: P(X+Y)=P(X)+P(Y)= |X|/|K| + |Y|/|K| = (|X|+|Y|)/|K|   =/= |X+Y| / |K|

-> also gilt diese Aussage i.A. nicht.

Jetzt: P(2X) = P(X)+P(X)=|X|/|K| + |X|/|K| = 2*  |X|/|K| =  |X+X| / |K|

-> also stimmt die Aussage hier.

Ist der Ansatz so korrekt? Gibt es ein konkreten Gegenbeweis für die erste Aussage? Mir ist leider keins eingefallen.

:)

Comments

Hier stand etwas Falsches. Um nicht zu verwirren habe ich es gelöscht.

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Ich meinte ein Gegenbeispiel, habe mich leider verschrieben, wie z.B. X={1,2,3} Y={3,4} und K={1,2,3,4,5,6}

Dann ist P(X)=3/6 und P(Y)=2/6 und P(X+Y)=4/6, aber P(X)+P(Y)=5/6.

Wäre das ein Gegenbeispiel zur ersten Aussage?

Und ich hab noch eine weitere Frage, die du mir vielleicht beantworten kannst:

Wenn man beim Lotto 6 aus 49, formal die Ereignisse von keinem, einem, zwei, ... Richtigen angeben soll, wie macht man das? Ich kann es irgendwie nicht formal genug hinschreiben.

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Nein, dein Ansatz stimmt nicht!

P(X+Y) != P(X) + P(Y)

Schau mal hier: Dreicksverteilung

Zum zweiten Teil: ist 2*X oder X+X gemeint?

Zur anderen Frage: Sei X die ZV die die Anzahl der richtigen beim Lotto beschreibt.

P(X = x) =... Mit x in {1,...,6}

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Verstehe nicht ganz, was ich daraus entnehmen soll. In meiner Aufgabe sind die Zufallsvariablen ja nicht zwangsweise unabhängig voneinander.

Meinst du hiermit "P(X+Y) != P(X) + P(Y)", dass die erste Aussage doch stimmt?

Es ist 2*X gemeint, aber ist das nicht im Normalfall das selbe?

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Was soll denn zum Beispiel P(X) darstellen? Sollte es nicht eher P(X=k) heißen?

In deinem Beispiel im Kommentar gibst du unterschiedliche Mengen für X,Y und K an. Der Grundraum (ich nehme an dies ist gleichbedeutend mit Ergebnisraum?) gilt für X und Y, also gilt X,Y ∈ K. Dein Beispiel sieht eher nach einem Ereignis, als einer Zufallsvariable aus.

Du schreibst P(X)=|X|/|K|. Ich schätze du gehst von einer Gleichverteilung (Laplace) aus und dann wäre dies die richtige Whk für dein Ereignis X aus dem Beispiel, was aber wie gesagt nichts mit der Zufallsvariable X aus der Aufgabe zu tun hat. Gleichverteilt ist auch nicht dasselbe wie identisch verteilt.

Ist überhaupt angegeben ob es sich um diskrete oder stetige Zufallsvaraiblen handelt?

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Danke für deine Antwort!

Die Aufgabe wurde genauso formuliert, wie sie oben steht, also keine weiteren Angabe.

Der Grundraum ist der Ergebnisraum, genau.

Ich bin von einer Gleichverteilung ausgegangen, da ich dachte dass identisch verteilt das gleiche ist wie gleich verteilt. Im Skript konnte ich keine Definition zur identischen Verteilung finden.

Wie würdest du die Aufgabe denn interpretieren?

Bin langsam echt ratlos :/

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Identisch verteilt heißt einfach nur, dass beide Zufallsvariablen die gleiche Verteilung (aber nicht unbedingt eine Gleichverteilung) haben.

Habt ihr denn schon viel zu stetigen Zufallsvariablen gemacht?

Zum widerlegen der ersten Aussage kann man sich ja vielleicht erstmal darauf beschränken, dass X und Y diskret und unabhängig sind. Wenn man da einen Widerspruch findet, kann die allgemeine Aussage ja auch nicht gelten.

Ich schaue mal später noch ein bisschen genauer, kann aber sein, dass ich erst irgendwann in der Nacht dazu komme... :)

Als Ansatz hätte ich wahrscheinlich sowas gewählt: P(X+Y=k) = P(X=z) * P(Y=|k-z|)

Vielleicht würde ich aber mit 2X anfangen, die "fühlt" sich um einiges leichter an.

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Kannst du mir vielleicht später nochmal den Unterschied zwischen gleiche Verteilung und Gleichverteilung erläutern?

Wir haben noch gar nichts zu stetigen Zufallsvariablen gemacht, bzw. diese nicht so explizit benannt.

Okay danke! Mir fällt es leider extrem schwer einen sinnvollen Ansatz zu finden. :/

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"identisch verteilt" bezieht sich auf zwei (oder mehr) Zufallsvariablen, die die gleiche Verteilung besitzen: Bei einer Urne mit 3 Zetteln mit den Zahlen 1,1,2 und einem Würfel mit den Seiten 1,1,1,1,2,2 wären "X: Ergebnis beim Wurf des Würfels" und "Y: Ergebnis beim Ziehen aus der Urne" identisch verteilt.

Gleichverteilung bezieht sich auf eine einzelne Zufallsvariable und bedeutet (im diskreten Fall), dass jedes Ergebnis die gleiche Whk. hat. Die beiden oben genannten Zufallsvariablen sind also nicht gleichverteilt, "Z: Ergebnis beim Wurf eines normalen Würfels" wäre hingegen gleichverteilt.

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Sehr anschaulich erklärt! :)

Answer 1

Ist denn gleichverteilt (Überschrift) und "identisch verteilt" (Fragetext enthält beides) dasselbe?

Falls Gleichverteilung: 

Nimm als Gegenbeispiel die Augensumme beim Würfeln mit zwei Würfeln.

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichverteilung

Dort erwähntes Beispiel: Zufallsvariable Augenzahl ist gleichverteilt.

Augensumme beim Würfeln mit zwei Würfeln hingegen nicht, da z.B. P(Augensumme 2) ≠ P(Augensumme 6)

Das wäre dann ein Gegenbeispiel für beides.

Comments

also gelten beide Aussagen nicht?

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"identisch verteilt" würde gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable#Identisch_verteilt erlauben, dass die beiden Zufallsvariabeln nicht einmal unabhängig voneinander sind.

Bitte gibt nochmals die exakte Fragestellung an. Sind in der Hausaufgabe die Begriffe wirklich gemischt und das Wort "unabhängig" kommt nicht vor?

Seien X und Y zwei identisch verteilte Zufallsvariablen auf einem Grundraum K. Dann sind X+Y und 2X gleichverteilt.

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Nein die Aufgabe wurde in genau dem selben Wortlaut gestellt und leider nichts mit Unabhängigkeit.

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Das macht das Widerlegen doch einfacher:)

Je weniger bekannt ist, desto mehr Freiheiten hast du.

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Das heißt, dass dein Beispiel schon beide Aussagen widerlegt? Und dann wäre man schon fertig?

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Richtig: Es sei denn, ich habe etwas falsch verstanden oder du hast etwas falsch abgeschrieben.

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Wieso wiederlegt es, dass 2X gleichverteilt ist? Wenn X der Würfelwurf ist, ist 2X ja noch immer gleichverteilt.

Du kannst natürlich für X+Y beide Zufallsvariablen als Würfelwurf interpretieren (und damit X+Y als Augensumme) und dann für 2X, das X als die Augensumme zweier Würfel nehmen (also 2X als das doppelte der Augensumme zweier Würfel).

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Meiner Meinung nach nicht, es ist das Doppelte des einen Würfelwurfs. Läuft auf die indirekte Frage von JohnTanner in den oberen Kommentaren hinaus, ob 2X dass gleiche ist wie X+X. Meiner Meinung nach ist es das, da eine Zufallsvariable innerhalb eines Terms nur einen bestimmte Wert annimmt. Der Ergbnisraum für 2X ist dann aber {2,4,6,8,10,12} mit P(X=k)=1/6, also gleichverteilt.

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Stimmt. Das Doppelte es Würfelwurfs ist gleichverteilt (bei einem fairen Würfel).

Allerdings haben wir nachträglich festgestellt, dass bloss vorausgesetzt ist, dass X und Y "identisch verteilt" verteilt sind. D.h. gleichverteilt in der Überschrift war nicht verlangt.

Daher braucht X nicht gleichverteilt zu sein und somit ist 2X auch mit der Lesart "das Doppelte" nicht plötzlich gleichverteilt.