Summe gleichverteilter unabhängige Zufallsvariablen

Question

Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig und gleichverteilt auf {1, ..., n}. Berechnen Sie die Verteilung von Z=X+Y, d.h. die Wahrscheinlichkeiten P(Z=k) für alle k=2,...,2n.

Answer 1

$$P(Z=k) = P(X+Y = k)$$

$$= \sum_{i=1}^n P(X+Y =k \cap Y=i)$$

$$= \sum_{i=1}^n P(X+Y =k | Y=i)\cdot \underbrace{P(Y=i)}_{=\frac 1n}$$

$$= \frac 1n\sum_{i=1}^n P(X+i =k)$$

$$= \frac 1n\sum_{i=1}^n \underbrace{P(X =k-i)}_{=0 \text{ für } i\geq k}$$

$$= \frac 1n\sum_{i=1}^{k-1} \underbrace{P(X =k-i)}_{= \frac 1n}$$

$$= \frac{k-1}{n^2}$$

Answer 2

Nutze, dass k = 1 + (k-1) = 2 + (k-2) = 3 + (k-3) + ....

So kannst du zählen, wie oft Z=k durch die Summe aus X und Y dargestellt wird.

Z.B. für k= 3 erhält man 2 Darstellungen, für k= 4 erhält man 3.

Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann durch Division durch n^2.