Zeigen Sie punktweise Konvergenz, der auf Intervallen definierten Funktionenfolge

Question

Aufgabe:

Sei \(\displaystyle f_n:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}, f_n(x)=\begin{cases} n^2x & \text{falls}\space 0\leq x\leq\frac{1}{n}\\ 2n-n^2x & \text{falls}\space\frac{1}{n}<x\leq\frac{2}{n}\\ 0 & \text{falls}\space x>\frac{2}{n}\end{cases}\).
Beweisen Sie, dass \(\displaystyle (f_n)\) punktweise gegen eine Riemann-integrierbare Funktion \(\displaystyle f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\) konvergiert und bestimmen Sie diese. Beweisen Sie \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^2f_n(x)dx\neq\int_0^2f(x)dx\).

Problem/Ansatz:

\(\displaystyle|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\) für \(\displaystyle n\geq N, N\in\mathbb{N}\) muss für punktweise Konvergenz gelten, nur weiß ich nicht wie ich das hier zeigen soll. Zudem ist \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=\begin{cases} \infty x & \text{falls}\space 0\leq x\leq 0\\ \infty -\infty x & \text{falls}\space 0<x\leq\ 0\\ 0 & \text{falls}\space x>0\end{cases}\), was mir irgendwie falsch erscheint.

Answer 1

$$\forall x \in [0,2]\ \exists n_0 \in \mathbb{N}: f_n(x) = 0\ \forall n > n_0 \Rightarrow f_n \to 0$$

Also ist die Grenzfunktion die Nullfunktion, diese ist bekanntlich Riemann-integrierbar mit Wert 0

Allerdings gilt: $$ \int_0^2 f_n \mathrm{dx} = \int_0^{\frac{1}{n}} n^2x \mathrm{dx} + \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}}(2n - n^2x) \mathrm{dx} = (\frac{n^2x^2}{2})|_0^{\frac{1}{n}} + (2nx - \frac{n^2x^2}{2})|_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} = \frac{1}{2} + (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) = 1\ \forall n \in \mathbb{N}$$