Uns wurde gesagt, dass es nur gerade Exponenten bei den Funktionen vierten grades gibt
Nun, das ist im Allgemeinen natürlich falsch. Die allgemeine Polynomfunktion vierten Grades enthält (selbstverständlich) auch Potenzen mit ungeradzahligen Exponenten. Sie lautet:
f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e
In dem Sonderfall, b = d = 0 erhält man daraus eine besondere Form einer Polynomfunktion 4. Grades, nämlich eine sogenannte biquadratische Form:
f ( x ) = a x 4 + c x 2 + e
Soll man die Nullstellen einer solchen Funktion bestimmen, so erhält man dementsprechend eine sogenannte biquadratische Gleichung:
a x 4 + c x 2 + e = 0
Einer solchen Gleichung kann man natürlich auch mit der Polynomdivision zu Leibe rücken - vorausgesetzt man kennt bereits eine Nullstelle. Denn andernfalls kann man den Faktor, durch den man polynomdividieren will, nicht bestimmen.
Zum Glück gibt es bei biquadratischen Gleichungen einen anderen Lösungsweg: Die Lösung durch Substitution.
Dabei setzt man z = x 2
und ersetzt jedes Auftreten von x 2 und seinen Potenzen in der gegebenen Gleichung durch die entsprechenden Potenzen von z. Das sieht dann so aus:
a z 2 + c z + e = 0
Das aber ist eine normale quadratische Gleichung, deren Lösungen z1 und z2 man etwa mit der abc-Formel ("Mitternachtsformel") oder nach Division der Gleichung durch den Koeffizienten a mit der pq-Formel finden kann.
Hat man die Lösungen z1 und z2 gefunden, muss man noch die Rücksubstitution durchführen:
x12 = z1 und x22 = z2
woraus sich durch Wurzelziehen die maximal 4 reellen Lösungen der ursprünglichen Gleichung ergeben:
x1,1 = - √ z1
x1,2 = + √ z1
x2,1 = - √ z2
x2,2 = + √ z2
