Differenzierbarkeit der Funktion f zeigen f : R → R, f(x) = a^x, wobei a > 0 fest gewählt sei.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die Differenzierbarkeit folgender Funktionen:

i)  f : R → R, f(x) = a^x,  wobei a > 0 fest gewählt sei.

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht es mit der h-Methode zu lösen.

\( \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \) Also eingefügt, \( \dfrac{a^x*a^h-a^x}{h} \). Hier fahre ich dann gegen eine Wand und finde keinen Weg weiter. Ich habe versucht es etwas umzuschreiben, mit a^x=e^x*ln(a) aber das hat mir auch nicht weiter geholfen, Hoffe ihr könnt mir etwas helfen.

Grüße

Comments

Komisch ist, dass die Aufgabe lautet:

"Zeigen Sie die Differenzierbarkeit folgender Funktionen und bestimmen Sie jeweils die Ableitung mit Methoden aus der Vorlesung"

Wäre es nicht sinnvoller zu sagen:

Zeigen Sie die Differenzierbarkeit folgender Funktionen, indem sie jeweils die Ableitungen mit Methoden aus der Vorlesungen bestimmen

Oder verstehe ich was falsch?

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Hier $$ \dfrac{a^x*a^h-a^x}{h} $$ kannt du a^x ausklammern.

Somit hast du f(x) * limes_(...) (Bruchterm).

Dann beim Grenzübergang im Limes die Ableitung von f(x) an der Stelle x=0.

Nützt das etwas?

Was brauchst du denn gemäss euren Unterlagen genau für Differenzierbarkeit?

Answer 1

Hallo

 klammer a^x aus, dann hast du den GW von (a^h-1)/h jetzt musst du die Definition von e^x einbringen, die ihr hattet oder die Differenzierbarkeit von e^x.

Gruß ledum

Answer 2

Nachtrag: Die Konstituenten von \(f\) sind alle differenzierbar. Man betrachte \(f(x)=a^x=e^{\ln(a)\cdot x}\).

Vielleicht liege ich falsch, aber ich habe die Aufgabe so bearbeitet:

Es ist \(f(x)=a^x \Leftrightarrow \ln(f(x))=\ln(a^x)=x\cdot \ln(a)\). Wenn du nun ableitest mit denjenigen Werkzeugen, die mit der h-Definition hergeleitet wurden und im Skript stehen:$$\frac{\text{d}}{\text{dx}}[\ln(f(x))]=\frac{\text{d}}{\text{dx}}[x\cdot \ln(a)]$$ Auf die linke Seite wendest du die Ketten- und auf die rechte Seite die Produktregel an, dann erhältst du:$$\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)=\ln(a) \Leftrightarrow f'(x)=\ln(a) \cdot f(x)$$

Comments

Nennt man auch Implizites Differenzieren

Answer 3

Aloha :)$$\left(a^x\right)^\prime=\lim\limits_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}=a^x\lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$$

Du kannst hier ausnutzen, dass nach Aufgabenstellung \(a>0\) ist und sich die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus "gegenseitig aufheben", d.h. \(a^h=\exp(\ln(a^h))=\exp(h\ln(a))\). Mittels der Potenzreihe der e-Funktion gilt dann:$$a^h=e^{h\ln(a)}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(h\ln(a))^n}{n!}=1+h\ln(a)+\frac{1}{2}h^2\ln^2(a)+O(h^3)$$Das \(O(h^3)\) bedeutet, dass es mit Summanden weiter geht, die alle den Faktor \(h^3\) oder höher haben.$$\Rightarrow\quad \frac{a^h-1}{h}=\frac{h\ln(a)+\frac{1}{2}h^2\ln^2(a)+O(h^3)}{h}=\ln(a)+\frac{1}{2}h\ln^2(a)+O(h^2)$$$$\Rightarrow\quad \lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(\ln(a)+\frac{1}{2}h\ln^2(a)+O(h^2)\right)=\ln(a)$$Jetzt alles zusammenbauen und du erhältst:$$\left(a^x\right)^\prime=a^x\,\ln(a)$$