Was genau ist der Faktorring Z3[t] / <t²> und wieviele Elemente hat dieser?

Question

Aufgabe:

Wie viele Elemente hat Z₃[t]/<t²>?

Problem/Ansatz:

Ich habe generell ein Problem mit Faktorräumen/ -gruppen/ -ringen etc. Z / nZ verstehe ich noch, aber dann hört es leider auf... Die Sache mit dem "Herausteilen" macht mir immense Schwierigkeiten.

Nun wollte ich zunächst einmal wissen, ob meine Interpretation  so richtig ist:

- Z3 ist klar, von daher müsste Z3[t] der Potenzreihenring über Z₃ sein, bei dem die Koeffizienten Elemente aus Z₃ sind.

- <t²> = {kt², mit k aus Z₃} (hätte also 3 Elemente)

- Dann wäre  Z₃[t] / <t²> =  { p * <t²> mit p aus Z₃[t] }  ist das so? Und was bedeutet das? Und wie komme ich auf die Elementanzahl? 

Lieben Dank schon mal für Eure Antworten!

Answer 1

Ich nehme mal an, <t²>  ist das von  t² erzeugte Ideal in  Z₃[t].

Das sind also alle Polynome ist nur Potenzen von t mit Exponent größer oder

gleich 2 enthalten.

Also ist in  Z3[t] jedes  Polynome  von t mit Exponent größer oder gleich 2

kongruent zur 0.

unterschiedliche  Elemente von  Z3[t]/<t²>  unterscheiden sich somit nur

durch den Anteil a + b*t ; denn alles was danach kommt ist ja in <t²> also

gleich 0.

Für a und b gibt es, da es in Z3 stattfindet nur die Möglichkeiten 0, 1, 2

also gibt es genau 9 Elemente, repräsentiert durch

0

1

2

t

1+t

2+t

2t

1+2t

2+2t

Comments

Super, Danke Dir! Es kommt etwas Licht ins Dunkel in die modulo Geschichte...

Dann stelle ich eine Nachfrage zu dem Thema Modulo, in der Hoffnung es verstanden zu haben:

Wenn nun R[t]/<t²+1> (mit R, Reelle Zahlen) ist:

Sind dann hier alle Polynome, mit dem Grad zwei und höher kongruent zu 0, sofern sie ein a im Term haben ( dann wären Polynome, wie z.B. t³ +2t²-1,5t in der Menge)?

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In <t²+1> sind alle, die den Faktor (t²+1) enthalten.

Kannst du mit deinem Beispiel prüfen durch Division

 t³ +2t²-1,5t  : ( t^2 + 1 ) = t + 2 
t^3         +t
-----------------
     2t^2 - 2,5t
     2t^2  +2t 
    ----------------
             -4,5t

Division "geht nicht auf" , also ist

 t²+1 kein Teiler von t³ +2t²-1,5t  und damit

t³ +2t²-1,5t  nicht kongruent 0 sondern

kongruent zu -4,5t .

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Ok, das Verständnis wächst! Danke Dir vielmals.