Zeigen Sie, dass der Faktorring

Question

Aufgabe:

Sei f(x) := x^3 + x + 1 ein Element von F2[x]. Zeigen Sie, dass der Faktorring
R := F2[x]/f(x)F2[x]
ein Körper mit 8 Elementen ist. Welche Minimalpolynome µa(t) ∈ F2[t] besitzen
Elemente a ∈ R über F2?

Problem/Ansatz:

ich hab zuerst F8 ist isomorph zu  2[x]/(x^3+x+1) da x^3+x+1 ei irreduzibles polynom vomGrad 3über F2.

auserdem ist f8 zyklisch der ordnung 7 also ist jedes von 1 verschiedene elemente ein erzeugendes

reicht dieser beweis.

weiterhin

Sei f(x) := x^3 + x + 1 ein Element von F2[x]. Bestimmen Sie die Inversen zu
den folgenden Elementen im Körper R.
(i) 1 + x, quer
(ii) x^2 quer
(iii) 1 + x^2 quer

Answer 1

Sei \(\alpha\) die Restklasse von \(x\) in R.

(i) \(\frac{^1}{1+\alpha}\cdot \frac{1+\alpha}{1+\alpha}=\frac{1+\alpha}{1+\alpha^2}\cdot \frac{\alpha}{\alpha}=\alpha+\alpha^2\).

(ii) \(\frac{1}{\alpha^2}=\frac{\alpha}{\alpha+1}=\frac{\alpha+1+1}{\alpha+1}=1+\frac{1}{1+\alpha}=1+\alpha+\alpha^2\)

(iii) \(\frac{1}{1+\alpha^2}=\frac{\alpha}{\alpha+\alpha^3}=\alpha\)