Vektoren, Linearkobinationen

Question

Ich hoffe jemand hier kann mir helfen.

Was Linearkobinationen sind weiß ich, aber folgende Aufgabe ist mir ein Rätsel.

Zeigen sie das sich jeder Vektor a=(a1, a2, a3) des VR Q³ als Linearkobination aus (2, 0, 4), (5, 0, 3) und (1, 6, 0) darstellen lässt.

Wieso sollte das so sein, oder wieso ist das so? Müssen a1, a2, a3 verschieden sein?

Wie zeigt man sowas? Habe versucht einzelne Vektoren so darzustellen, funktioniert...Wie läuft das jetzt allgemein?

Answer 1

Zeigen sie das sich jeder Vektor a=(a1, a2, a3) des VR Q³ als Linearkobination aus (2, 0, 4), (5, 0, 3) und (1, 6, 0) darstellen lässt.

Ich muss dann jeden Vektor [x, y, z] als Linearkombination darstellen können.

2a + 5b + 1c = x
0a + 0b + 6c = y
4a + 3b + 0c = z

Das kann man jetzt nach dem Gaussverfahren lösen.

Man findet die eindeutige Lösung

a = - (6·x - y - 10·z)/28
b = (6·x - y - 3·z)/21
c = y/6

Damit ist es für alle [x, y, z] gezeigt.

Comments

:) Logisch, bin ich nicht drauf gekommen

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wieso x,y und z und nicht einfach a (der Vektor der linearkombination) ?
also wieso nicht

2a + 5b + 1c = a1

0a + 0b + 6c = a2

4a + 3b + 0c = a3

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Weil ich persönlich lieber mit x, y und z rechne :-) Ich mache das hier außerdem um Missverständnisse zu vermeiden.