Antwort mit KI erzeugt
Vereinigung von Vektoren, Untervektorräume
Zu überprüfen, ob bestimmte Vereinigungen von Mengen von Vektoren Untervektorräume (UVR) bilden, müssen wir grundlegende Eigenschaften und Axiome für Untervektorräume berücksichtigen. Ein Untervektorraum eines Vektorraums \(V\) muss drei Bedingungen erfüllen:
1.
Nullvektor: Der Nullvektor von \(V\) ist in dem Untervektorraum enthalten.
2.
Abgeschlossenheit unter Addition: Für alle \(u, v\) im Untervektorraum ist auch \(u + v\) im Untervektorraum.
3.
Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation: Für jedes \(v\) im Untervektorraum und jeden Skalar \(c\) ist \(cv\) im Untervektorraum.
Erster Teil: \(\langle v1 \rangle \cup \langle v2 \rangle\)
Um zu zeigen, ob \(\langle v1 \rangle \cup \langle v2 \rangle\) ein Untervektorraum von \(V = \mathbb{R}^4\) ist oder nicht, betrachten wir die Vektoren \(v1 = (1; 1; 1; 1)\) und \(v2 = (4; 4; 0; 0)\).
- \(\langle v1 \rangle\) bezeichnet den von \(v1\) erzeugten (aufgespannten) Untervektorraum, welcher alle Vielfachen von \(v1\) enthält.
- \(\langle v2 \rangle\) ist analog der von \(v2\) erzeugte Untervektorraum.
Eine Vereinigung von zwei Untervektorräumen \(\langle v1 \rangle \cup \langle v2 \rangle\) wäre nur dann ein Untervektorraum von \(V\), wenn die Vereinigung selbst alle obigen Axiome erfüllt. Allerdings führt die Vereinigung im Allgemeinen nicht zu einem Untervektorraum, weil die Vereinigung zweier Untervektorräume meist nicht abgeschlossen ist unter Addition und skalaren Multiplikationen, außer einer der Untervektorräume ist im anderen enthalten.
Ein einfacher Weg, dies zu demonstrieren, besteht darin, zwei Vektoren \(a \in \langle v1 \rangle\) und \(b \in \langle v2 \rangle\) zu betrachten, die nicht gleichzeitig in \(\langle v1 \rangle\) und \(\langle v2 \rangle\) liegen, und zu zeigen, dass ihre Summe \(a + b\) nicht in \(\langle v1 \rangle \cup \langle v2 \rangle\) enthalten ist. Nehmen wir zum Beispiel \(a = v1\) und \(b = v2\), dann ist \(a + b = (5; 5; 1; 1)\). Dieser Vektor ist eindeutig weder ein Vielfaches von \(v1\) noch von \(v2\), also nicht in \(\langle v1 \rangle\) und nicht in \(\langle v2 \rangle\), was bedeutet, dass \(\langle v1 \rangle \cup \langle v2 \rangle\) nicht abgeschlossen unter Addition ist und daher kein Untervektorraum sein kann.
Zweiter Teil: \(\langle v1, v4, v5 \rangle \cup \langle v2 \rangle\)
Für die Menge \(\langle v1, v4, v5 \rangle \cup \langle v2 \rangle\), sollen wir zeigen, dass sie ein Untervektorraum ist. Hierbei ist \(v3 = (3; 4; 2; 1)\), \(v4 = (2; 3; 1; 1)\), und \(v5 = (1; 0; 0; 0)\).
Der Ansatz besteht darin, zu prüfen, ob eines der Sets das andere enthält oder es eine Basis gibt, die beide Sets abdeckt. Wenn wir jedoch genauer prüfen, wird klar, dass die Fragestellung womöglich irreführend ist, da \(\langle v1, v4, v5 \rangle \cup \langle v2 \rangle\) als Vereinigung von Untervektorräumen bei genauerer Betrachtung auch keine explizite Basis für einen gemeinsamen Untervektorraum angibt. Die übliche Vorgehensweise wäre hier der Nachweis, dass alle Vektoren zusammen linear unabhängig sind und den gesamten Raum \(V\) oder einen klar definierten Unterraum von \(V\) aufspannen. Da aber die Frage darauf abzielt zu zeigen, dass es sich um einen UVR handelt, ohne spezifische Kriterien zu liefern, wie \(\langle v2 \rangle\) in der Vereinigung mit \(\langle v1, v4, v5 \rangle\) einen Untervektorraum bildet, kann dies zu Verwirrung führen.
Normalerweise würde man bei einer solchen Aufgabe die lineare Unabhängigkeit aller genannten Vektoren prüfen und zeigen, dass sie gemeinsam einen Untervektorraum aufspannen. Die formulierte Frage lässt jedoch nahelegen, dass hier ein Missverständnis vorliegt: Die Vereinigung zweier Untervektorräume ist ohne weitere Bedingungen (wie die Inklusion eines Raums im anderen) generell kein Untervektorraum.
