Lösungsmenge von Exponentialgleichung 4^(x-2) + 4 * 4^(2-x) = 5

Question

Aufgabe:

\( 4^{x-2} \) + 4 · \( 4^{2-x} \) = 5

Problem/Ansatz:

\( \dfrac{4^x}{4^2} \) + \( \dfrac{4 · 4^2}{4^x} \) = 5

Hier muss ich eine Substitution durchführen. Jedoch verstehe ich das noch nicht ganz. Könnte mir jemand die einzelnen Schritte erklären? Nach der Substitution kann ich die Gleichung einfach mit der ABC-Formel berechnen.

Vielen Dank  & schönen Abend :)

Answer 1

Hi,

klar ist ja, dass man \(4^x = u\) wählt. Dann einfach mal loslegen ;).

$$\frac{4^x}{4^2} + \frac{4^3}{4^x} = 5$$

$$\frac{u}{4^2} + \frac{4^3}{u} = 5   \quad|\cdot u \text{ dann }-5u$$

$$\frac{1}{4^2}u^2 -5u + 4^3 = 0$$

Mit der abc-Formel ergibt sich:

$$u_1 = 16 = 4^2$$

$$u_2 = 64 = 4^3$$

Nun noch resubstituieren. Dabei kann man die Lösungen direkt ablesen. Diese sind

$$x_1 = 2$$

$$x_2 = 3$$

Grüße

Comments

Vielen Dank, jetzt habe ich die Substitution verstanden. Nur das resubstituieren ist mir noch etwas unschlüssig. Also quasi die "Substitution" nach dem Lösen der quadratischen Gleichung rückgängig zu machen.

\( 4^{x1} \) = 16

\( 4^{x2} \) = 64

Wie komme ich dann auf x1 und x2?

Vielen Dank vorab :)

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Unknown hat das doch schon verdeuticht. Wenn du

\(4^{x_1}=4^2 \)  und  \(4^{x_2}=4^3 \)  schreibst, siehst du das sofort.

Beachte, dass die Funktion mit  x ↦ 4^x   streng monoton steigend ist.

Answer 2

4^(x-2) + 4 * 4^(2-x) = 5

4^(x-2)  -5 + 4 * 4^(-(x-2) )  = 0         | * 4 ^ (x-2) 

( 4^(x-2)) ^2   - 5 * 4^(x-2) + 4 = 0      | Faktorisieren

( 4^(x-2) - 4 ) * ( 4^(x-2) - 1 ) = 0

Zwei Möglichkeiten:

( 4^(x-2) - 4 ) = 0 oder  ( 4^(x-2) - 1 ) = 0

D.h.

 4^(x-2) = 4  oder   4^(x-2) = 1 

D.h.
4^(x-2) = 4^1  oder  4^(x-2) = 4^0        | Expnentenvergleich

x - 2  = 1 oder x - 2 = 0

Somit

x = 3 oder x = 2

L = { 2, 3}

Answer 3

4^(x - 2) + 4·4^(2 - x) = 5

Was mit auffällt ist, dass die Exponenten bis auf das Vorzeichen gleich sind. Daher schreibe ich einen Exponenten erstmal um

4^(x - 2) + 4/4^(x - 2) = 5

Wenn jetzt der Ausdruck 4^(x - 2) in dem das x Vorkommt gleich ist, kann ich substituieren.

z = 4^(x - 2)

z + 4/z = 5

Das ist eine Bruchgleichung. Bruchgleichungen löst man indem man mit dem Hauptnenner multipliziert.

z^2 + 4 = 5·z

z^2 - 5·z + 4 = 0

Das ist eine quadratische Gleichung die man auf vielerlei Verfahren lösen kann. pq-Formel oder Satz von Vieta wäre hier günstig.

(z - 1)·(z - 4) = 0

Jetzt noch den Satz vom Nullprodukt anwenden und man erhält

z = 1 oder z = 4

Nun wird resubstituiert

4^(x - 2) = 1 = 4^0

4^(x - 2) = 4 = 4^1

Ein Exponentenvergleich liefert dann

x - 2 = 0 → x = 2

x - 2 = 1 → x = 3

Die Lösungen sollten also 2 oder 3 sein. Damit macht man jetzt noch eine Probe. Das schenke ich mir aber mal an dieser Stelle,