Extremwertaufgabe mit Abstand entlang einer Geraden

Question

Aufgabe:

Die Graphen der Funktion f₁: y = 1/8x² +2 und f₂: y = ln(x) werden von der Geraden g: x = k in den Punkten P und Q geschnitten. Bestimme k so, dass die Strecke PQ möglichst kurz wird.

Danke vielmals für eure Unterstützung!

LG

Answer 1

Die Länge der Strecke ist

f(k) = k^2 / 8  + 2  - ln (k)

Extremwerte von f:

  f ' (k) = k/4 - 1/k also  f ' (k) = 0 <=>  k/4 = 1/k <=>  k^2 = 4

Wegen k>0 nur die Lösung k=2.

f ' ' (k) =  1/4 + 1 /k^2    also  f (2) > 0 ==>   Min von f bei k=2.

Für k=2 ist die Strecke am kürzesten und hat die Länge 5/2 - ln(2) ≈ 1,8

Sieht so aus:

~plot~ x^2/8+2;ln(x);x=2 ~plot~

Comments

Besten Dank!!

Answer 2

Die Frage ist etwas verklausuriert gestellt.
Etwas einfacher
Differenzfunktion aufstellen
1.Ableitung bilden, zu null setzen
und dadurch Extrempunkte bestimmen

Die Lösung x = -2 entfällt da nicht im Definitionsbereich
von ln(x)