Ableitung der e-Funktion

Question

Ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und habe in meinen Übungen folgendes gefunden:

$$i\hbar \frac{d}{dt} e^{-itH/\hbar}=i\hbar \frac{d}{dt}\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-it/\hbar)^n}{n!}H^n=i\hbar \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{n(-it/\hbar)^{n-1}}{n!}H^n\frac{-i}{\hbar}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-it/\hbar)^{n}}{n!}H^{n+1}$$

Leider komme ich einfach nicht darauf, warum man den letzten Schritt machen darf (Das sich i und h wegkürzen ist klar).Es wäre klasse, wenn da jemand helfen könnte

Answer 1

Aloha :)

Nach dem vorletzten Schritt fällt der Summand für \(n=0\) weg:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n(-it/\hbar)^{n-1}}{n!}H^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n(-it/\hbar)^{n-1}}{n!}H^n$$

Jetzt machst du rechts eine Indexverschiebung:$$=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(n+1)(-it/\hbar)^{(n+1)-1}}{(n+1)!}H^{n+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-it/\hbar)^n}{n!}H^{n+1}$$

Comments

vielen Dank, die Sache mit der Verschiebung ist mir nicht eingefallen :)