Phasenspektrum Fourier

Question

ich verstehe nicht wie ich das Phasenspektrum φ(w) nach einer Fouriertransformation ausrechnen kann.

Nach der Fouriertransformation hab ich U(w) = \( \frac{1}{-2πjw} \) erhalten.

In meinen Unterlagen steht als Formel: U(w) = |U(w)|*\( e^{jφ(w)} \).

Also:

\( \dfrac{1}{-2πjw} \) = |\( \dfrac{1}{2πw} \)|*\( e^{jφ(w)} \)

Ich weiß, dass ich das in Abhängigkeit von w > 0 und w < 0 ausrechnen muss.

Leider komm ich an dieser stelle nicht weiter.

Die Lösung sollte:

\( \dfrac{3π}{2} \) für w > 0

und

\( \dfrac{π}{2} \) für w < 0

sein.

Ich bedanke mich jetzt schon mal für jegliche Hilfe!

Answer 1

Fall w>0: 

\( \dfrac{1}{-2πjw} \) = |\( \dfrac{1}{2πw} \)|*\( e^{jφ(w)} \)         | *(-2πw) 

1/(-i) = e^(i phi(w))         | 1/(-i) = (-i) / (( -i)(-i) ) = -i

-i = e^(i phi(w))          | -i = e^(-iπ/2 + i*n*2π ) (Einheitskreis). n ganze Zahl

e^(i(π/2 + n*2π))) = e^( i phi(w))      | Exponentenvergleich

i (π/2 + n*2π) = i phi(w)     | :i

π/2 + n*2π =  phi(w)  , n Element Z. 

Fall w < 0: analog.

Comments

Danke dir!

Wie mein Dozent allerdings auf die Lösung von oben gekommen ist bleibt mir ein Rätsel. Ich vermute mal, dass meine Mitschrift fehlerhaft ist.

Bezugnehmend auf deinen Kommentar von oben:

Da das selbe Ergebnis rauskommt geh ich jetzt auch einfach mal davon aus.

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Bitte gern geschehen. Allerdings ohne Gewähr.

Vielleicht nochmals:

e^(-iπ/2 + i n*2π ) , n Element Z,

ist immer die gleiche komplexe Zahl. (egal welches n du wählst).

D.h. man kann schon auf die zwei Lösungen in deiner Mitschrift kommen, wenn phi z.B. zwischen 0 und 2π liegen soll.

Answer 2

a) w > 0

$$ -\frac{1}{2\pi*i*w} = \frac{1}{2\pi*w} * e^{i*phi(w)} \\ -\frac{1}{i} = e^{i*phi(w)} \\ ln(-\frac{1}{i}) = i*phi(w) \\ phi(w) = \frac{1}{i} * ln(-\frac{1}{i}) \\ phi(w) = \pi/2 + n * 2\pi $$

b) w < 0

$$ -\frac{1}{2\pi*i*w} = -\frac{1}{2\pi*w} * e^{i*phi(w)} \\ -\frac{1}{i} = -e^{i*phi(w)} \\ ln(\frac{1}{i}) = i*phi(w) \\ phi(w) = \frac{1}{i} * ln(\frac{1}{i}) \\ phi(w) =- \pi/2 + n * 2\pi $$
 

Comments

Danke für deine Hilfe aber leider werde ich daraus nicht schlau.

Die Umformung ist klar, soweit habe ich gestern nicht mehr gedacht.

Aber wie kommst du auf die jeweiligen Endergebnisse? Gibt es dafür eine Formel oder wie kann ich das ausrechnen?

Und woher kommt das n?

Darf man für das n beliebige Werte einsetzen?

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Darf man für das n beliebige Werte einsetzen?

Beliebige ganze Zahlen. Grund e^(ix) ist 2π-periodisch. Sollst du den omgega zwischen 0 und 2π angeben?

Wenn ja: bei a) n = 0 und bei b) n=1 wählen.

Verstehe aber noch nicht genau, warum mathe53 hier den Logarithmus von komplexen Zahlen benutzt. In welchem Bereich ist denn dein w und phi gemeint?

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Ah ok.

Nein eine Angabe bzgl. Omega habe ich nicht.

Die Aufgabenstellung ist:

Die Fouriertransformierte der Heaviside-Funktion ist U(w) = \( \frac{1}{2πjw} \). Skizzieren Sie das Amplitudenspektrum und das Phasenspektrum von U(w).

Gibt es noch einen anderen weg als das über den Logarithmus auszurechnen?

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Ich habe so etwas nun versucht (unten).

Exponentenvergleich ist allerdings vielleicht dasselbe wie ein ln in ℂ.