Die sogenannte e-Funktion, in der die eulersche Zahl enthalten ist, ist ein Ergebnis der Differentialgleichung $$ f(x)=f'(x)$$
Man kann folgendermaßen drauf kommen:
Ich suche eine Funktion f, welche obige Differentialgleichung erfüllt. Als Ansatz definiere ich $$ f(x):=\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k $$
Dann ist ihre erste Ableitung
$$ f'(x)=\sum_{k=1}^\infty k\cdot a_k\cdot x^{k-1}\\\stackrel{(*)}{=}\sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot a_{k+1}\cdot x^k$$
Mich interessieren nun die Koeffizienten a_k. Die bekomme ich per Koeffizientenvergleich heraus. Also:
$$ f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot a_{k+1}\cdot x^k=f'(x)$$
Ich gucke mir jetzt jeden Summanden einzeln an und bekomme folgende Rekursionsgleichung:
$$ a_k=(k+1)\cdot a_{k+1} \\\Leftrightarrow a_{k+1}=\frac{a_k}{k+1}$$
Problem: Was ist a_0? Keine Ahnung. Also definieren wir ihn uns einfach als eine Konstante $$ a_0=:c\in\mathbb{R}$$, da $$ c\cdot x^0=c$$
Koeffiezientenvergleich:
$$ a_{0+1}=a_1=\frac{a_0}{0+1}=c\\ a_{1+1}=a_2=\frac{a_1}{1+1}=\frac{c}{2}\\a_{2+1}=a_3=\frac{a_2}{2+1}=\frac{c}{6}$$
Wenn man das so weitermacht, wird man erkennen, dass sich jeder Koeffizient durch
$$ a_k=\frac{c}{k!} $$
beschreiben lässt.
Das kann man dann über Induktion beweisen. Hier nur das Wesentliche, weil das drum herum nur langweilige Schreibarbeit ist. Der Induktionsschritt:
Es gilt auch für k+1, d.h., $$ a_{k+1}=\frac{c}{(k+1)!} $$. Dies zeigt man so:
Mit der Rekursionsgleichung folgt
$$ a_{k+1}=\frac{a_k}{k+1}\stackrel{(IV)}{=}\frac{c}{k!}\cdot \frac{1}{k+1}=\frac{c}{(k+1)!} $$
Und tatsächlich! Es beschreibt damit alle Koeffizienten.
Damit kommt man auf
$$ f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{c}{k!}\cdot x^k $$
Weiter ist
$$ f'(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{c\cdot k}{k!}\cdot x^{k-1} =\sum_{k=0}^\infty\frac{c\cdot (k+1)}{(k+1)!}\cdot x^k=\sum_{k=0}^\infty\frac{c}{k!}\cdot x^k $$
Und man erhält dasselbe Ergebnis.
$$ f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{c}{k!}\cdot x^k =:c\cdot e^x$$
(*) Indexverschiebung.
(IV) Induktionsvoraussetzung.
