Frage zum Cauchy-Produkt: Kann man den Index n-k nicht mit n ersetzen?

Question

Aufgabe:

Das Cauchy Produkt lautet ja:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{A_{k}\cdot B_{n-k}} \)

Problem/Ansatz:

Mich nervt dieses n-k Index. Kann man das n-k nicht mit n ersetzen ?

Answer 1

nein, das kann man natürlich nicht. Was stört dich daran? Ich bevorzuge die Definition, die auf Wikipedia steht:

Sind \(\sum_{n=0}^{\infty}{a_n}\) und \(\sum_{n=0}^{\infty}{a_n}\) zwei absolut konvergente Reihen, dann gilt:$$\left(\sum_{n=0}^{\infty}{a_n}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^{\infty}{b_n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}{\sum_{k=0}^{\infty}{a_kb_{n-k}}}$$ Es ist auch essenziell, dass die beiden Reihen absolut konvergieren, denn man könnte nach dem Riemannschen Umordnungssatz nach eigenem Gusto die Reihe so umordnen, dass ein beliebiger Reihenwert rauskommt.

Hier vielleicht einmal als Beispiel eine Anwendung des Cauchyprodukts:

Für alle \(z\in \mathbb{C}\) und \(|z|<1\) gilt: $$\left(\sum_{k=0}^{\infty}{z^k}\right)\cdot \left(\sum_{k=0}^{\infty}{z^k}\right)\overset{(\#)}=\sum_{k=0}^{\infty}{\sum_{m=0}^{k}{z^m\cdot z^{k-m}}} = \sum_{k=0}^{\infty}{\sum_{m=0}^{k}}z^k=\sum_{k=0}^{\infty}{\left(z^k\cdot \sum_{m=0}^{k}{1}\right)}=\sum_{k=0}^{\infty}{z^k(k+1)}$$ In \((\#)\) verwende ich das Cauchy-Produkt. Wenn du tiefere Einblicke haben möchtest, so melde dich doch noch einmal, da ich das hier jetzt mal ganz knapp formuliert habe. Ich antworte aber wahrscheinlich erst nach Mittwoch.

Ans Herz legen kann ich dir noch folgendes Video, das zwar einige kleine Fehler hat, das aber sehr gut fürs Verständnis ist:

https://www.youtube.com/watch?v=xybTXmWlaTw

LG

Comments

danke erst mal für deine Antwort. Das im Video , z.B. in 3:44 , das habe ich auch in gewissermaßen ausgeschrieben. Da dachte ich: hey, da wird doch jedes An mit jedem Bk ausgerechnet. D.h. ich könnte doch die erste Summenformel für mein An benutzen und die zweite für mein Bk. Damit gehe ich doch wie gefolgt vor:

Würde ich "mein" Cauchy-Produkt anwenden, so würde es doch lauten:

∑n=0∞
∑k=0∞An∗Bk

= a0*b0+a0*b1+a0*b2+...+a0*bINF

+ a1*b0+a1*b1+a1*b2+...+a1*bINF

+...

+ aINF*b0 + aINF*b1 + aINF*b2 + ... + aINF*bINF


Ich weiß INF (infinity) wäre jetzt hier unangebracht (ist ja nicht realistisch es auszurechnen, kann man ja mit k bzw. n ersetzen). Aber ist jetzt mein Grundgedanke falsch ? Ich tüftele eigentlich nie mit Formeln, so einer bin ich nicht. Aber ich war i.d.F. nur neugierig. Den Einstieg wie im Video hat unser Prof auch genauso gemacht gehabt. Irgendwie schaffe ich es nicht durchzublicken, warum n-k und nicht anders.


PS: Kann es sein, dass alleine schon die erste Reihe quasi nicht berechenbar ist ?

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Sorry war ein Spam !!!

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Ist dir der Doppelreihensatz bekannt?

Beim Ausmultiplizieren von \((a_0+a_1+\ldots)(b_0+b_1+\ldots)\) erhält man eine Doppelsumme  über alle Produkte \(a_ib_j\) mit \(i,j\in \mathbb{N}_0\). Die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty}{\sum_{n=0}^{\infty}{a_ib_j}}\) ist einfach die Summation dieser Produkte in der Reihenfolge \(a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+\ldots\). Genauer können wir das jetzt wie folgt formulieren:$$\left(\sum_{i=0}^{\infty}{a_i}\right)\left(\sum_{i=0}^{\infty}{b_j}\right)=\sum_{i=0}^{\infty}{\sum_{j=0}^{\infty}{a_ib_j}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\sum_{i+j=n}^{}{a_ib_j}}=\sum_{n=0}^{\infty}{}\left(\sum_{i=0}^{n}{a_ib_{n-i}}\right)$$

Kann es sein, dass alleine schon die erste Reihe quasi nicht berechenbar ist?

Ich weiß nicht ganz, was du damit meinst.

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Ach, pli pla plub. Da kann ich ja nicht mehr ordentlich schreiben. Verzeihung. Damit meinte ich, dass ich ja irgendwie nicht meine erste Partialsumme bilden kann (Also c0 bzw. c1 für n = 0 bzw. n=1), aber das ist ja wahrscheinlich Unfug :P .

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Hat sich erledigt :D