Gleichseitige Dreiecke im Vektorraum mit nichtzyklischen Seitenvektoren und ganzzahligen Koordinaten

Question

Aufgabe: moin

Ich habe mich damit beschäftigt, für den Unterricht gleichseitige Dreiecke in 3D zu konstruieren.
Mein Ansatz lautet momentan, dass die Vektoren

\( \vec{a} \begin{pmatrix} x\\y+b\\z+a \end{pmatrix} \),   \( \vec{b} \begin{pmatrix} x+a\\y\\z+b \end{pmatrix} \)  und  \(\vec{c} \begin{pmatrix} x+b\\y+a\\z \end{pmatrix} \) immer ein gleichseitiges Dreieck bilden.

Problem/Ansatz:

Die Vektoren, welche die Seiten des Dreiecks beschreiben sind dabei immer

\( \begin{pmatrix} a\\b\\a-b \end{pmatrix} \),  \( \begin{pmatrix} b\\a-b\\a \end{pmatrix} \)  und \( \begin{pmatrix} a-b\\a\\b\end{pmatrix} \) 
Also nur zyklisch vertauscht. Kann mir jemand ganzzahlige Koordinaten für ein gleichseitiges Dreieck nennen, bei dem dies nicht der Fall ist?

Also zum Beispiel Seite eins hat Länge \( \sqrt{6^2+8^2 + 0^2} \) und Seite zwei hat die Länge \( \sqrt{0^2+0^2 + 10^2} \)

Falls möglich würde mich auch interessieren, wie man solche Punkte findet.

Comments

Nur zur Vollständigkeit:

In einem anderen Forum hat ein User die folgenden zwei Antworten gepostet:

Lösung 1:

[0; 0; 0], [1; 7; 10] und [11; 2; 5] 

Lösung 2:
[0; 0; 0], [0; 3; 15] und [13; 4; 7]

Zwar ohne Erklärung, aber die beiden zeigen, dass entsprechende Lösungen existieren.

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aber die beiden zeigen, dass entsprechende Lösungen existieren.

Ja es gibt noch mehr! Mit Computerhilfe gefunden habe ich:$$\begin{array}{ll} [3; 4; 5] & [7; 1; 0] \\ [0; 9; 9] & [11; 4; 5] \\ [0; 9; 9] & [11; 5; 4] \\ [1; 7; 10] & [11; 2; 5] \\ [0; 11; 11] & [13; 3; 8] \\ [0; 11; 11] & [13; 8; 3] \\ [4; 7; 13] & [3; 15; 0] \\ [5; 12; 13] & [17; 7; 0] \\ [5; 10; 15] & [18; 1; 5] \\ [2; 11; 15] & [17; 6; 5] \\ [5; 13; 16] & [20; 1; 7] \\ [1; 2; 17] & [14; 7; 7] \\ [5; 8; 17] & [4; 19; 1] \\ [8; 15; 17] & [23; 7; 0] \\ [5; 8; 19] & [0; 21; 3] \\ [5; 10; 19] & [19; 11; 2] \\ [0; 19; 19] & [23; 7; 12] \\ [0; 19; 19] & [23; 12; 7] \\ [9; 13; 20] & [25; 0; 5] \\ [5; 15; 20] & [24; 7; 5] \\ [6; 9; 21] & [5; 23; 2] \\ [4; 11; 21] & [1; 24; 1] \\ [6; 11; 23] & [25; 5; 6] \\ [9; 15; 24] & [29; 4; 5] \\ [7; 10; 25] & [6; 27; 3] \\ \end{array}$$Die dritte Ecke ist jeweils \([0;0;0]\)

Das sind alle Dreiecke mit einer Seitenlängen kleiner 30 und teilerfremden und positiven Koordinaten, die nicht in das Raster fallen, was ich in meiner Antwort beschrieben habe. Wobei sich aus jedem Dreieck noch weitere bilden lassen, indem man sie um die Hauptachsen und Raumdiagonalen dreht.

Answer 1

.. das ist jetzt meine Antwort:

Ich habe nur gleichseitige Dreiecke mit ganzzahlen Eckkoordinaten gefunden, die senkrecht auf einer der vier Raumdiagonalen stehen. Das bedeutet für ihre Generierung:

1.) Nehme einen beliebigen Punkt - z.B.) $$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$$2.) Suche Dir eine der vier Raumdiagonale aus - z.B. \(d_4=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\) . Die zugehörige Rotationsmatrix ist $$D_4 = \begin{pmatrix} 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 1& 0& 0 \end{pmatrix}$$3.) rotiere \(\vec{a}\) zweimal um die Raumdiagonale um den Winkel von jeweils \(120°\):$$\begin{aligned} \vec{b} &= D_4 \cdot \vec{a} &&= \begin{pmatrix} 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 1& 0& 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}  &= \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix}\\ \vec{c} &= D_4 \cdot \vec{b} &&= \begin{pmatrix} 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 1& 0& 0 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}\end{aligned}$$Anschließend kann man das Dreieck noch beliebig verschieben, indem man alle drei Punkte mit einem gemeinsamen Offset \(\begin{pmatrix} x & y& z\end{pmatrix}^T\) addiert.

Die anderen drei Rotationsmatrizen sind:$$\begin{aligned} D_1 &= \begin{pmatrix} 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0 \end{pmatrix}\\ D_2 &= \begin{pmatrix} 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ -1& 0& 0 \end{pmatrix}\\ D_3 &= \begin{pmatrix} 0& 0& -1\\ 1& 0& 0\\ 0& -1& 0 \end{pmatrix}\end{aligned}$$Diese Roationen sind jeweils zyklische Vertauschungen der Koordinaten. Damit ist zum einen die Ganzzahligkeit der Koordinaten garantiert. Weiter hat jede der Rotationsmatrizen die Eigenschaft, dass \(D_i^3 = E\) ist (\(E\) ist die Einheitsmatrix). Damit führt jede eine Drehung um jeweils \(120°\) durch, was dann zu dem gleichseitigen Dreieck führt.

In folgendem Bild kann man das Ergebnis für das Beispiel oben (das grüne Dreieck) und für den Punkt \(A=\begin{pmatrix} 2& 1& 0\end{pmatrix}^T\) gedreht mit \(D_1\) sehen (das blaue Dreieck) inklusive einer Verschiebung um 3 Einheiten in Richtung \(z\).

(klick auf das Bild, dann kann man die Szene rotieren)

Der von Dir vorgeschlagen Weg ist eine Teilmenge dieser Lösung. Bei Dir ist immer \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0& b& a \end{pmatrix}^T\) und die Rotationsmatrix ist \(D_1\).

Wie ich finde, eine ziemlich interessante Frage. ich suche noch nach anderen Möglichkeiten für solche Dreiecke oder einem Beweis, dass es keine andere Möglichkeit mehr gibt ... ;-)

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

.. und das war mal ein Kommentar:

Ich unterstelle, dass \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) die Koordinaten der Eckpunkte sein sollen. Dann ist $$\vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} a\\ -b\\ b-a\end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} a\\ b\\ a-b \end{pmatrix}$$

und wenn die Seiten nur aus zyklisch vertauschten Koordinaten bestehen, so ist das Dreieck immer gleichseitig und nicht nur gleichschenklig.

Sollen nur die Koordinaten ganzzahlig sein oder auch die Seitenlängen?

Comments

Ja, es handelt sich bei den Vektoren \( \vec{a} , \vec{b} , \vec{c}\) um die Darstellung der Eckpunkte.

Danke für den Hinweis mit  \( \vec{b}-\vec{a} \). Da es für die Berechnung der Längen irrelevant ist, habe ich da nicht drauf geachtet.

Dass das so entstehende Dreieck immer gleichseitig ist, ist mir bewusst. Deshalb habe ich es ja auch so konstruiert. Ich sehe in meinem Fragetext auch nichts, was auf Gleichschenkligkeit hinweist.

Mir reicht es, wenn die Koordinaten der Eckpunkte ganzzahlig sind. Die Seiten dürfen irrationale Längen haben.

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Gut. Bitte einfach etwas Geduld. Ich sehe gerade, dass dein Wunsch nach ganzzahligen Koordinaten nachträglich hinzugefügt wurde.

Nun bitte einfach warten, bis die beiden Antwortenden wieder online sind.

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Ich sehe in meinem Fragetext auch nichts, was auf Gleichschenkligkeit hinweist.

... das war ein Irrtum meinerseits.

Ich habe jetzt eine 'richtige' Antwort erstellt (s.o.)

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Sehr hübsch. Soweit ich es überblicke, läuft es ebenfalls immer auf zyklische Seitenvektoren hinaus. Zumindest wenn man die Beträge der Komponenten betrachtet.

Rein vom Bauchgefühl, würde ich vermuten, dass die Richtung eines Gegenbeweises die richtige ist. Das man also zeigen kann, dass es keine sonstigen ganzzahligen gleichseitigen Dreiecke gibt. Das übersteigt aber meine mathematischen Fähigkeiten und Zeitbudget.

Answer 2

\( \begin{pmatrix} 1\\√3\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix}1\\-√3\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} -2\\0\\0 \end{pmatrix} \) umschließen ein gleichseitiges Dreieck.

Comments

Danke, aber mein Wunsch wären ganzzahlige Koordinaten.

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Bitte erwähne in solchen Kommentaren, dass dein Wunsch nach ganzzahligen Koordinaten und die Angabe, dass die Vektoren vom Koordinatenursprung aus auf die Dreiecksecken zeigen, in der ursprünglichen Fragestellung nicht explizit erwähnt waren.

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Das stimmt nicht. Es fehlte in der Überschrift, aber der gesamte Text wurde zu keiner Zeit von mir überarbeitet und enthielt von Anfang an

Kann mir jemand ganzzahlige Koordinaten für ein gleichseitiges Dreieck nennen, bei dem dies nicht der Fall ist?

Ich akzeptiere den Vorwurf, dass es in der Kopfzeile nicht stand. Aber der Text war von Anfang an klar formuliert. Wie gesagt, zu keiner Zeit überarbeitet.

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Das ist kein Vorwurf an dich. Aber ein Hinweis, dass du deine Überschriften möglichst aussagekräftig gestalten solltest und v.a., dass du Roland sagst, dass die Überschritt nun präziser ist.

Was du geschrieben hast, sieht im Nachhinein aus wie ein Vorwurf an Roland.

Kommt es bei deiner Frage überhaupt drauf an, ob die Vektoren "Seitenvektoren" oder Ortsvektoren deines Dreiecks sind?

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Aha, danke für den Hinweis.

Sowohl "Seitenvektoren" als auch Ortsvektoren sollen ganzzahlig sein. Da macht es keinen Unterschied. Allerdings bezieht sich der Begriff "zyklisch" nur auf die "Seitenvektoren". Deshalb habe ich diese Formulierung verwendet.

Die gleichseitigen Dreiecke die ich und inzwischen Werner-Salomon gefunden haben können prinzipiell durch Verschiebung mit jedem beliebigen Ortsvektor konstruiert werden. Aber die Vektoren, die die Seiten beschreiben, sind dann immer betragsweise zyklisch.
Da bin ich auch weiterhin gespannt, ob jemand ein ganzzahliges Beispiel nennen kann, wo dies nicht so ist.