Aufgabe:
Ich muss sämtliche Lösungen der Folgenden Gleichung berechnen:
sin(z) = i, wobei z eine komplexe Zahl ist.
Das habe ich gemacht, was nicht richtig sein kann:
$$ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i2} = i \Rightarrow \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{1} = -2 $$
Dann habe ich die Eulersche Formel folgendes erhalten:
$$ e^{i(x+iy)} - e^{-i(x+iy)} = e^{ix-y} - e^{-ix+y} = e^{ix} \cdot e^{-y} - e^{-ix} \cdot e^{y} $$
$$= e^{-y}*(cos(x) +isin(x)) - e^{y}*(cos(x) + isin(x))$$
$$= e^{-y} \cdot cos(x) - e^y\cdot cos(x) + e^{-y} \cdot isin(x) - e^{y} \cdot isin(x)$$
Und das muss ja jetzt -2 ergeben, also fällt der imaginäre sinusanteil raus oder nicht? Und damit das passiert, muss $$x = \pi \cdot k $$ gelten.
Also: $$= e^{-y} \cdot cos(\pi \cdot k) - e^y\cdot cos(\pi \cdot k) =cos(\pi \cdot k) \cdot (e^{-y} - e^y) = -2 $$
Ich komme ab hier nicht weiter. Außerdem habe ich das gefühl ich hätte schon was falsch gemacht.
DAnke!
