Schwingungsgleichung der Form cos(wt)+sin(wt) nach t auflösen

Question

Aufgabe:

Es geht um den ersten Durchgang einer Schwingung mit

(1) x(t) = s*cos(ωt) + A*sin(ωt)

Problem/Ansatz:

Hierzu soll für eine Auslenkung x die Geschwindigkeit berechnet werden.

(2) v(t) = -s*ω*sin(ωt) + A*ω*cos(ωt)

Nur, wie lässt sich (1) nach t auflösen?

Answer 1

Hi,

zu lösen ist die Gleichung $$  x_0 + s = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) $$ aus der Identität

$$ A \cos(\omega t) - B \sin(\omega t) = R \cos(\omega t +\phi) $$ folgt das man die Gleichung

$$ x_0 + s = R \cos(\omega t - \phi)  $$ nach \( t \) auflösen muss, wobei \(  R = \sqrt{A^2+B^2} \) und \( \phi = \arctan\left( \frac{B}{A}  \right) \) gilt . Da die Gleichung aber mehrere Lösungen besitzt, kann man wegen \( \cos(x) = \cos(-x) \) auch folgende Gleichung lösen

$$ x_0 + s = R \cos(-\omega t +\phi)  $$ Hier ist die Lösung

$$  t_0 = \frac{-\arccos\left( \frac{x_0 +s}{R} \right) + \arctan\left( \frac{B}{A} \right) }{\omega}  $$ und das ergibt das Gleiche wie die iterativ gefundene Lösung.

Comments

ullim,

herzlichen Dank für Deine Erklärung. Du hast mir damit sehr geholfen.

Answer 2

Folgendes Video sollte dir helfen:

https://www.youtube.com/watch?v=cAokL9gKy98

Answer 3

wie lautet die genaue Aufgabe?

Allgemein ist

A*cos(wt)+B*sin(wt)=R*cos(wt-phi)

Mit R=sqrt(A^2+B^2) , tan(phi)=B/A

Comments

@all: vielen Dank

Es geht um die Berechnung der Geschwindigkeit an einer beliebigen Stelle.

(1) x(t)=s*cos(t*(R/m)^0,5)+v*(m/R)^0,5*sin(t*(R/m)^0,5) - s,

vereinfacht: (2) x+s=A*cos(wt) + B*sin(wt)

Eine mit einer Masse verbundene Feder stellt hier ein schwingungsfähiges Gebilde dar. Zum Zeitpunkt t=0 ist das System in Ruhe und es wird ein Stoß eingeleitet.
v(0): Stoßgeschwindigkeit (6 m/s)
s: Vorspannung der Feder (0,046 m)
R: Federkonstante (670 N/m)
m: Masse (0,225 kg)
x(t): resultierende Auslenkung

Gesucht ist nun t, wenn x=0,03 m. Durch Iteration ermittelte ich t=0,0085 s. Wenn ich o.g. Methode von jc2144 auf (2) anwende, erhalte ich:

sqrt(A²+B²) * cos(ωt - arctan(B/A)) = x+s

nach t aufgelöst:

t=(arccos((x+s)/sqrt(A²+B²))+arctan(B/A))/ω

Als Ergebnis erhalte ich t=0,0467 Sekunden.

Irgendwie stoße ich hier an meine Grenzen. Sorry, ich komme nicht weiter.

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Ich entschuldige mich vielmals. Leider muss ich mich korrigieren. O.g. "Gesucht ist nun t, wenn x=0,03 m. Durch Iteration ermittelte ich t=0,0085 s." muss ich korrigieren zu

t(0,03 m) = 0,0054 Sekunden

Sorry.

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Im Diagramm wurde es dann klar: Diese Formel

t=(arccos((x+s)/sqrt(A²+B²))+arctan(B/A))/ω

liefert den Wert nach dem ersten Maximum. Es liegt wohl an dem Vorzeichen des phi in

A*cos(wt)+b*sin(wt)=R*cos(wt-phi)

Wird hier an Stelle von -phi nun +phi eingesetzt, erhalte ich wiederum -t. D.h. den korrekten Wert, aber mit negativem Vorzeichen. Könnte bitte jemand den korrekten Einstieg nennen? U.g. Vorschlag liefert ein phasenverschobenes Ergebnis.

A*cos(wt)+b*sin(wt)=R*cos(wt-phi)
Mit R=sqrt(A2+B2) , tan(phi)=B/A