alternatives Berechnen eines Integrals mit konstanten Faktoren

Question

folgendes Integral soll mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung einer Funktion berechnet werden:

Integral (4x^4-4x^2+1)dx=4/5x^5-4/3x^3+x=F(x)

folgender Ansatz, den ich beim erfolglosen Berechnen des Gaußschen Fehlerintegrals unter zu Hilfenahme einer binomischen Gleichung ermittelt habe, soll gelten:

f(x)*f'(x)/f''(x)=(16x^3-8x)/(48x^2-8)*(4x^4-4x^2+1)=(8x^7-12x^5+6x^3-x)/(6x^2-1)

es soll gelten: F(x)=4/5x^5-4/3x^3+x=(a*8x^7-b*12x^5+c*6x^3-dx)/(6x^2-1)

(6x^2-1)*(4/5x^5-4/3x^3+x)=(a*8x^7-b*12x^5+c*6x^3-dx), Koeffizientenvergleich ergibt:

x^7: a=24/40, x^5:b=132/180; x^3:c=22/3; x:d=1, diese konstante Faktoren werden gesucht

f(x)*f'(x)/f''(x)*s(a,b,c,d)=F(x) Ableitung bilden und die konstanten Faktoren ermitteln, wieder durch einen Koeffizientenvergleich

s(a,b,c,d)*((f(x)*f'(x)/f''(x))'=f(x)

a=(144x^8)/(240x^8)=12/20

b=((192-56a)x^6)/(216x^6)=132/180

c=((60b-88)x^4/(18x^4)=22/3

d=1

Damit wurde eine alternative Integralberechnung aufgezeigt. Vielleich sind damit ja auch komplizierte Integrale berechenbar, für eine Beurteilung dieser Frage wäre ich dankbar! Das Gaußsche Fehlerintegral mit dieser Methode zu berechnen funktioniert leider nicht, da habe ich mich getäuscht!

~plot~ 4/5x^5-4/3x^3+x;(8x^7-12*x^5+3x^3-x)/(6x^2-1);[[-2|2|-2|2]]; x=0,408;0,377;0,530331;(24/5*x^7-132/15x^5+22/3x^3-x)/(6x^2-1); ~plot~

Ich glaube, ich habe mich bei den c verrechnet, ansonsten müsste alles stimmen!

f₁ und f₅ überlagern sich

Comments

Bitte immer bei deiner ursprünglichen Frage nachfragen. Genaue Fragestellung bei https://www.mathelounge.de/649693/ist-hier-ein-koeffizientenvergleich-moglich ?

Answer 1

Hallo Bert,

du hast unter https://www.mathelounge.de/649693/suche-polynom-arcsin-hier-koeffizientenvergleich-moglich eine Frage gestellt, die sich auf die hier vorliegende Frage bezieht, und die das Thema vertieft.  Daher halte ich es für günstig, erst mal diese hier vorliegende Frage zu beantworten.

Um dies möglich zu machen, muss ich noch die Zeilen deiner Frage durchnummerieren:

folgendes Integral soll mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung einer Funktion berechnet werden:  (1)
Integral (4x4-4x2+1)dx=4/5x5-4/3x3+x=F(x)    (2)
folgender Ansatz, den ich beim erfolglosen Berechnen des Gaußschen Fehlerintegrals unter zu Hilfenahme einer binomischen Gleichung ermittelt habe, soll gelten:  (3)
f(x)*f'(x)/f''(x)=(16x3-8x)/(48x2-8)*(4x4-4x2+1)=(8x7-12x5+6x3-x)/(6x2-1)    (4)
es soll gelten: F(x)=4/5x5-4/3x3+x=(a*8x7-b*12x5+c*6x3-dx)/(6x2-1)    (5)
(6x2-1)*(4/5x5-4/3x3+x)=(a*8x7-b*12x5+c*6x3-dx), Koeffizientenvergleich ergibt:  (6)
x7: a=24/40, x5:b=132/180; x3:c=22/3; x:d=1, diese konstante Faktoren werden gesucht    (7)

Hiermit kommst du zu dem Ergebnis, dass – siehe dein Plot – die Funktionen
f1(x) = 4/5x5-4/3x3+x
und
f5(x) = (24/5•x7-132/15x5+22/3x3-x)/(6x2-1)
identisch sind.  Außderdem schreibst du, dass dies eine alternative Integralberechnung ist.

(I)  Die beiden Funktionen f1(x) und f5(x) müssen ja gleich sein, denn sie entstammen ja Gleichung (5) deiner obigen Überlegung.

(II)  Von alternativer Integralrechnung kann man ja nicht sprechen, denn du verwendest ja oben in den Zeilen (2) und (5) bereits das auf herkömmlichem Weg berechnete Integral.

(III)  Leider kann ich aus deinen Aufzeichnungen nicht erkennen, wie die alternative Integralrechnung erfolgen soll.  Dazu solltest du ein Beispiel durchrechnen, bei dem du gerade *nicht* das normal berechnete Integral verwendest, und dennoch auf die korrekte Lösung kommst.

Comments

Hallo Bert, ich würde mich über einen Kommentar von dir zu meiner Antwort freuen.

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50 % aller MatheLounge Fragesteller reagieren nicht, wenn man ihnen helfen will.

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Ich meine auch Anworten könnten minunter
mehr wertgeschätzt werden.
Du kannst aber keinen zwingen zu antworten.

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Ja, du hast in beidem recht.  Ich habe mir so viel Mühe gegeben, auf Berts Fragestellung einzugehen.

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Eine Rückmeldung von Bert war nicht zu erwarten, da du seinen Ausführungen im Großteil widersprochen hast. Beste Antworten zeichnet er auch prinzipiell nicht aus.

Answer 2

hallo

 Deine Formel stimmt exakt für sin(ax), e^(ax), für Polynom ist sie ja wohl nicht nützlich, wenn doch mach es einzeln für x^n dann mit dem Faktor (n-1)/(n^2+n)

was die Formel aber nützen soll versteh ich nicht, da sie ja nicht allgemeingültig ist, sonst würde F'(x)=f(x) geltend-von es i.A. weit weg ist

Gruß lul