Gibt es eine endliche Geometrie, in der die Anordnungsaxiome gelten?

Question

Aufgabe:

Gibt es eine endliche Geometrie, in der die Anordnungsaxiome gelten?

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist das 2. Anordnungsaxiom (Wurde bei uns in der Vorlesung so vorgegeben: Zu je zwei verschiedenen Punkten A und B existiert ein Punkt C, so dass B zwischen A und C liegt). Dem Axiomensystem vorangestellt ist, dass dieses System eine Relation für Mengen von drei Punkten A, B, C ist: "B liegt zwischen A und C ".

Wenn ich das zweite Axiom, das ja für alle Punkte innerhalb der Menge der Punkte gilt, richtig verstehe, so muss es zu jedem Punktpaar einen weiteren Punkt geben, so dass einer der beiden anderen zwischen dem neuen und dem "verbliebenen" liegt. Das würde dann aber doch immer wieder einen neuen weiteren Punkt notwendig machen, den es vorher ja gar nicht gab (also theoretisch auch nicht in der Punktemenge, da das Axiom für alle Punkte der Menge gilt). Insofern müsste doch die Frage zwangsläufig mit Nein beantwortet werden, oder?

Ist das korrekt, oder wo liegt mein Denkfehler?

Danke schon mal im Voraus für die Unterstützung!

Answer 1

Wenn zwischen je zwei Punkten A und B immer noch ein dritter C liegt, dann gibt es einen D zwischen A und C und einen E zwischen C und B sowie vier weitere auf AD,DC, CE und EB. Und weil das immer so weiter geht, gibt es unendlich viele Punkte und es ist keine endliche Geometrie.

Answer 2

Das würde dann aber doch immer wieder einen neuen weiteren Punkt notwendig machen

Nein.

Beispiel. Sei M = {A}. Dann gibt es in M keine zwei verschiedene Punkte. Somit ist die Prämisse "Zu je zwei verschiedenen Punkten A und B" stets falsch. Damit ist das 2. Anordnungsaxiom erfüllt.

Um zu widerlegen, dass es eine endliche Geometrie gibt, in der die Anordnungsaxiome gelten, musst du weitere Axiome heranziehen.