Aloha :)
Roland hat die die Lösung ja bereits graphisch gezeigt. Da du das Ergebnis aber auf 2 Nachkommastellen angeben sollst, musst du vermutlich eine Rechnung liefern, denn so genau kann ja nimenad von Hand zeichnen bzw. ablesen. Um das gesuchte \(x\) zu berechnen, schreibst du zunächst die Gleichung so um, dass rechts die \(0\) steht:$$\underbrace{\sin(2x)+0,5x-0,6}_{=: f(x)}\overset{!}{=}0$$Das Ausrufezeichen über dem Gleichheitszeichen bedeutet, dass es sich um eine Forderung handelt. Wir sollen das \(x\) so bestimmen, dass die Forderung erfüllt ist. Auf der linken Seite steht nun eine Funktion, die wir als \(f(x)\) bezeichnen, und von der wir die Nullstelle im Intervall \([2;3]\) finden sollen.
Für Nullstellensuche in einem gegebenen Intervall ist das Newton-Verfahren sehr gut geeignet, weil es schnell konvergiert. Dabei startet man mit einem Näherungswert \(x_0\) für die Nullstelle und berechnet die Tangente \(t_{x_0}(x)\) an die Funktion \(f(x)\) in diesem Punkt \(x_0\):
$$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)\cdot\left(x-x_0\right)$$
Dann schaut man, wo diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet (also den Wert \(0\) hat)
$$t_{x_0}(x)\overset{!}{=}0$$$$f(x_0)+f^\prime(x_0)\cdot\left(x-x_0\right)\overset{!}{=}0$$$$f^\prime(x_0)\cdot\left(x-x_0\right)\overset{!}{=}-f(x_0)$$$$x-x_0\overset{!}{=}-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}$$$$x\overset{!}{=}x_0-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}$$Diese Stelle nimmt man nun als neuen Näherungswert \(x_1\) für die Nullstelle. Macht man das rekursiv, ergibt sich die Folge:$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}$$Für die hier konkret vorgegebene Funktion \(f(x)\) heißt das:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{\sin(2x_n)+0,5x_n-0,6}{2\cos(2x_n)+0,5}\quad;\quad x_0=2,5$$
Schon nach wenigen Schritten ändern sich die zwei ersten Nachkommastelle nicht mehr:
$$x_0=2,5$$$$x_1=2,78943804065393$$$$x_2=2,71670935352646$$$$x_3=2,71273843403675$$$$x_4=2,71272530445413$$
