Aloha :)
Zur Berechnung der Bogenlänge \(s(t)\) in Abhängigkeit des Parameters \(t\) nehmen wir an, die Kurve startet bei \(t=0\). Dann ist:$$s(t)=\int\limits_0^t\left|\frac{d\vec r}{dt}\right|\,dt=\int\limits_0^t\left|\left(\begin{array}{c}-3\sin t\\3\cos t\\4\end{array}\right)\right|\,dt=\int\limits_0^t\sqrt{(9\sin^2t+9\cos^2t+16}\,dt$$$$\phantom{s(t)}=\int\limits_0^t5\,dt=5t$$Damit lautet die Bahnkurve in Abhängigkeit von der Bogenlänge \(s\):$$\vec r(s)=\left(\begin{array}{c}3\cos\frac{s}{5}\\3\sin\frac{s}{5}\\\frac{4s}{5}\end{array}\right)$$Den Tangenten-Einheitsvektor bekommst du nun durch Ableitung von \(\vec r(s)\):$$\vec t(s)=\frac{d\vec r}{ds}=\left(\begin{array}{c}-\frac{3}{5}\sin\frac{s}{5}\\\frac{3}{5}\cos\frac{s}{5}\\\frac{4}{5}\end{array}\right)$$Dieser Vektor muss ein Einheitsvektor sein, weil wir \(\vec r\) in Abhängigkeit der Bogenlänge \(s\) ableiten und für kleine Differenzen \(\Delta s\) gilt: \(\Delta s\approx|\Delta r|=|\vec r(s+\Delta s)-\vec r(s)|\), sodass:$$\frac{\left|d\vec r(s)\right|}{ds}=\lim\limits_{\Delta s\to0}\frac{\left|\Delta\vec r\right|}{\Delta s}=\lim\limits_{\Delta s\to0}\frac{\left|\vec r(s+\Delta s)-\vec r(s)\right|}{\Delta s}=1$$
Wegen \(\left[\vec t(s)\right]^2=1\) ist die Ableitung \(2\vec t\cdot\frac{d\vec t}{ds}=0\), d.h. die Ableitung eines Einheitsvektors steht immer senkrecht auf diesem. Der Normalenvektor \(\vec n\) in der Kurvenebene, senkrecht zu \(\vec t\) in Krümmungsrichtung ist also:
$$\vec n=\frac{d\vec t}{ds}=\left(\begin{array}{c}-\frac{3}{25}\cos\frac{s}{5}\\-\frac{3}{25}\sin\frac{s}{5}\\0\end{array}\right)$$Sein Betrag ist gleich der Krümmung:
$$\kappa=\sqrt{\frac{3^2}{25^2}\cos^2\frac{s}{5}+\frac{3^2}{25^2}\sin^2\frac{s}{5}+0^2}=\frac{3}{25}$$
