Tangenten-Einheitsvektor in Abhängigkeit der Bogenlänge

Question

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Mir ist folgende Kurve gegeben:

$$\vec r(t)=(3\cos t, 3\sin t, 4t)$$

Dazu lauten die Fragen:

1) Berechnen Sie den Tangenten-Einheitsvektor in Abhängigkeit von der Bogenlänge.

2) Wie groß ist die Krümmung der Kurve?

Ich kann den Tengenten-Einheitsvektor in Abhängigkeitngigkeit von t berechnen, aber wie geht das dann mit der Bogenlänge?

Bin um jede Hilfe dankbar. Vielleicht mit Erklärung, weil ich das offenbar nicht gut verstanden habe.

Answer 1

Aloha :)

Zur Berechnung der Bogenlänge $s(t)$ in Abhängigkeit des Parameters $t$ nehmen wir an, die Kurve startet bei $t=0$. Dann ist:$$s(t)=\int\limits_0^t\left|\frac{d\vec r}{dt}\right|\,dt=\int\limits_0^t\left|\left(\begin{array}{c}-3\sin t\\3\cos t\\4\end{array}\right)\right|\,dt=\int\limits_0^t\sqrt{(9\sin^2t+9\cos^2t+16}\,dt$$$$\phantom{s(t)}=\int\limits_0^t5\,dt=5t$$Damit lautet die Bahnkurve in Abhängigkeit von der Bogenlänge $s$:$$\vec r(s)=\left(\begin{array}{c}3\cos\frac{s}{5}\\3\sin\frac{s}{5}\\\frac{4s}{5}\end{array}\right)$$Den Tangenten-Einheitsvektor bekommst du nun durch Ableitung von $\vec r(s)$:$$\vec t(s)=\frac{d\vec r}{ds}=\left(\begin{array}{c}-\frac{3}{5}\sin\frac{s}{5}\\\frac{3}{5}\cos\frac{s}{5}\\\frac{4}{5}\end{array}\right)$$Dieser Vektor muss ein Einheitsvektor sein, weil wir $\vec r$ in Abhängigkeit der Bogenlänge $s$ ableiten und für kleine Differenzen $\Delta s$ gilt: $\Delta s\approx|\Delta r|=|\vec r(s+\Delta s)-\vec r(s)|$, sodass:$$\frac{\left|d\vec r(s)\right|}{ds}=\lim\limits_{\Delta s\to0}\frac{\left|\Delta\vec r\right|}{\Delta s}=\lim\limits_{\Delta s\to0}\frac{\left|\vec r(s+\Delta s)-\vec r(s)\right|}{\Delta s}=1$$

Wegen $\left[\vec t(s)\right]^2=1$ ist die Ableitung $2\vec t\cdot\frac{d\vec t}{ds}=0$, d.h. die Ableitung eines Einheitsvektors steht immer senkrecht auf diesem. Der Normalenvektor $\vec n$ in der Kurvenebene, senkrecht zu $\vec t$ in Krümmungsrichtung ist also:

$$\vec n=\frac{d\vec t}{ds}=\left(\begin{array}{c}-\frac{3}{25}\cos\frac{s}{5}\\-\frac{3}{25}\sin\frac{s}{5}\\0\end{array}\right)$$Sein Betrag ist gleich der Krümmung:

$$\kappa=\sqrt{\frac{3^2}{25^2}\cos^2\frac{s}{5}+\frac{3^2}{25^2}\sin^2\frac{s}{5}+0^2}=\frac{3}{25}$$

Answer 2

Hallo

das Bogenlängenintegral ist hier besonders einfach, das heisst du kannst s(t) leicht bestimmen, wenn du dann die Kurve nach Bogenlänge parametisiert hast, ist der Tangentenvektor von alleine Einheitsvektor.

Gruß lul

Comments

Kann es sein das

s(t) = 5 * t 

ist ?

Answer 3

Wenn t von 0 bis 2π wächst, macht der Punkt 3 Umdrehungen auf einem Kreis mit dem Radius 1 und steigt gleichzeitig gleichmäßig um 8π Einheiten nach oben.

Wickelt man diese Schraubenlinie ab, erhält man eine Bogenlänge von √((6π)²+(8π)²)=10π (und das bei einem Parameterwachstum von 2π.

Also gilt tatsächlich der vom Mathecoach genannte Zusammenhang s(t) = 5 * t.

Comments

3*cos t  ≠  cos 3t

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Wenn t von 0 bis 2π wächst, macht der Punkt 3 Umdrehungen auf einem Kreis mit dem Radius 1...

ist falsch, denn Gast hj2166 hat richtig bemerkt:

3*cos t  ≠  cos 3t

Neuer Versuch:
Wenn t von 0 bis 2π wächst, macht der Punkt eine Umdrehungen auf einem Kreis mit dem Radius 3 und steigt gleichzeitig gleichmäßig um 8π Einheiten nach oben.

Wickelt man diese Schraubenlinie ab, erhält man eine Bogenlänge von
√((6π)²+(8π)²)=10π (und das bei einem Parameterwachstum von 2π).
Damit gilt tatsächlich s(t) = 5 * t.