Unendlich viele irrationale Zahlen aus einer irrationalen Zahl gewinnen.

Question

Hallo liebe Lounge,

ich hätte gerne eine Rückmeldung zu folgender Überlegung.

Gegeben sei folgende Folge:

a_i= π + (\( \frac{1}{10} \))ⁱ   , mit i ∈ ℕ / {0}. Dann entsprechen die Folgendglieder a_i (wenn man i bis unendlich laufen lässt) einer unendlichen Anzahl an irrationalen Zahlen, für welche allesamt gilt: 3,1 < a_i <  3,3. Ist das so korrekt?

Zweite Frage: Ist die Anzahl der so generierten irrationalen Zahlen albzählbar oder überabzählbar unendlich?

Vielen Dank für eure Rückmeldungen.

Kombinatrix

Answer 1

a_i= π + (1/10)ⁱ  , mit i ∈ ℕ / {0}. Dann entsprechen die Folgenglieder a_i (wenn man i bis unendlich laufen lässt) einer unendlichen Anzahl an irrationalen Zahlen, für welche allesamt gilt: 3,1 < a_i <  3,3.  Das ist so korrekt.

Es werden abzählbar viele Zahlen: Jede Zahl a_i kann einer natürlichen Zahl i zugeordnet werden.

Comments

Vielen Dank. Also könnte man auf diese Art und Weise für zwei beliebige a und b, mit a,b ∈ℝ und a<b albzählbar unendlich viele irrationale Zahlen i finden, für die gilt a<i<b.

Man sucht sich eine irrationale Zahl und modifiziert sie so, dass sie z.b. an der einer und zehntel Stelle zwischen den werten von a und b liegt. Anschließend lässt man die Folge an dieser Dezimalstelle starten.

Jetzt heißt es aber doch, dass zwischen zwei reellen Zahlen überabzählbar viele irrationale Zahlen liegen. Wie komme ich nun von meiner Variante auf überabzählbar viele?

Oder geht das auf diese Art und Weise nicht?

LG und Dank :)!

---

Deine Konstruktion von Zahlen a_i erzeugt abzählbar viele Elemente. Die überabzählbar vielen irrationalen, welche zwischen je zwei reellen Zahlen liegen, können so nicht erzeugt werden.

---

Okay. Und was wäre eine Möglichkeit eine solche Anzahl zu erzeugen?

---

Ich würde zunächst zwischen zwei reellen r und t eine irrationale s₁ konsruieren und dann diese Konstruktion von "Zwischenzahlen" zwischen je zwei der gewonnenen Zahlen (einschließlich r und t) fortsetzen (ohne Garantie).

---

Hast du die Bedeutung deines Index' erkannt ?

---

Ich würde zunächst zwischen zwei reellen r und t eine irrationale s1 konsruieren und dann diese Konstruktion von "Zwischenzahlen" zwischen je zwei der gewonnenen Zahlen (einschließlich r und t) fortsetzen (ohne Garantie).

Verstehe ich nicht :(

---

Okay. Andere Frage.

Wäre die von mir genannte Folge konvergent? Nein oder?

---

Bzw. doch. Müsste gegen π selbst konvergieren oder?

---

Wie komme ich nun von meiner Variante auf überabzählbar viele?

Zumindest nicht mit Folgen. Jede Folge hat nur abzählbar viele Glieder. Das steckt schon in der Definition des Begriffs Folge drin. Eine Folge ist nämlich eine Abbildung von ℕ in eine Zielmenge.

Die Funktion \(f:\mathbb{R}\to\left(a,b\right)\) mit

         \(f(x) = \frac{1}{2}(b-a)\cdot \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+1\right)+a\)

ist bijektiv. Weil \(\mathbb{R}\) überabzählbar ist, ist das Intervall \(\left(a,b\right)\) ebenfalls überabzählbar.