Basis von U bestimmen, lineare Abhängigkeit

Question

Ich soll die Basis von U:=span{ (1,2,0,-4)^T , (0,7,-1,-1)^T , (8,-3,3,-9)^T , (5,2,1,1)^T } bestimmen.

Erstmal muss ich ja die lineare Abhängigkeit prüfen.

Das habe ich mit dem Gaußverfahren gemacht und die letzte Zeile ist eine Nullzeile. Daraus folgt ja, dass man eine der Vektoren als linearkombi der anderen darstellen kann, richtig?

Also ist es doch im Pprinzip auch egal, welche ich rauskicke, oder?

Wenn ich jetzt die letzte rausnehme, muss ich dann nochmal das Gaußverfahren machen?

Macht für mich wenig Sinn, aber im Skript steht, dass man das Verfahren wiederholt.

Answer 1

Hallo :-)

Es ist leider nicht egal welchen du rausnimmst... Ich gebe mal ein anderes einfaches Beispiel:

Stell dir vor du hast folgenden Spann{(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0)}. Offensichtlich haben wir keine Basis, da die ersten beiden lin. abh. sind. Wir wollen also einen Vektor rausnehmen. Wenn wir nun den letzten rausnehmen dann haben wir nicht mehr die selbe Menge und keine Basis.

Zu deinen Taten:

"Das habe ich mit dem Gaußverfahren gemacht und die letzte Zeile ist eine Nullzeile. Daraus folgt ja, dass man eine der Vektoren als linearkombi der anderen darstellen kann, richtig?" Ja richtig... (mindestens) einer ist als linear Kombination der anderen darstellbar - aber nicht alle. Und genauso einen müssen wir rauskicken, da er ja offensichtlich überflüssig ist.

Und warum überprüfen wir das nochmal mit Gauss? - Naja, die Frage lass ich mal für dich übrig, wenns nicht klappt nochmal melden

Liebe Grüße

Comments

Danke für die schnelle Antwort! :)

Oh, da hast du recht!

Auf jeden Fall weiß ich, dass ich den letzten rausnehmen muss, habe ich schon überprüft ;)..
Aber woher weiß ich das denn? Ich erhalte ja nur eine Nullzeile, der sagt mir ja nicht, was ich rausnhemen muss, oder?

Und muss ich dann das Verfahren nocheinmal machen?

Sorry, ich weiß gar nicht warum ich an so etwas einfachem hängen bleibe ^^

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Ja... die Nullzeile sagt dir erstmal das du die 0 als Linearkombination der Vektoren darstellen kannst wobei mind. ein (->zwei) Faktoren ungleich 0 sind.

0=av₁+bv₂+...+cv_n

Um herauszufinden welche die Basis bilden kannst du zwei Sachen machen:

1) Du löst das LGS in abhängigkeit von einer Konstanten... sodass du also a,b,...c ausrechnest. Durch umstellen weißt du welchen Vektor du als linear Kombination der anderen darstellen kannst. - Diesen nehmen wir wie oben besprochen dann raus. (Eventuell ist nochmal Gauß nötig um zu zeigen dass sie dann lin. unabh. sind)

2) Du nimmst zufällig einen raus und wendest nochmal Gauß an. Wenn du keine Nullzeile erhältst dann weißt du das sie linear unabh. sind... damit haben wir eine Basis gefunden. Wenn du jedoch eine Nullzeile erhältst dann weißt du erstmal gar nichts - Entweder du hast den falschen raus genommen (meist wahrscheinlicher)  oder du hast den richtigen rausgenommen, kannst aber noch einen rausnehmen, da sie immer noch lin. abh. sind. (Ich glaube dann müssten beim ersten Mal Gauss zwei Nullzeilen auftauchen. )

 

Ich hoffe jetzt ist es etwas klarer was Gauß macht und was dann dabei rauskommt.

LG

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Super lieb von dir, dass du mir hilfst :)

Dann macht es doch eigentlich gar keinen Sinn das Gaußverfahren anzuwenden, oder?
Dann kann ma ja einfach ein LGS aufstellen und sieht alles daran.

Noch eine kleine Frage: Wie schreibt man formell die Basis auf?
Im Skript finde ich dazu nichts.

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Ok, ich habe eine andere Idee:

Ich forme die Matrix solange um bis ich das hier erhalte:

 

1	0	3	0	0
0	7	14	0	0
0	0	1	1	0
0	0	0	0	0

(Als erweiterte Matrix)

Daran sehe ich doch, dass die erste, zweite  und vierte Spalte gar nicht lin abhängig sein können und da eine Nullzeile existiert kann ich sagen, dass die 3. lin abhängig ist, richtig?

Und dann muss ich das nochmal machen um zu schauen, ob noch weitere Vektoren lin abhängig sind? Eig doch nicht, sieht man doch an den Vektoren, dass es nicht geht, oder?

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sry für die späte Antwort, aber das schaut gut aus. (Müsste auf meinen ersten Vorschlag hinauslaufen) Ich habe es nicht nachgerechnet.

PS: Eine Basis schreibst du genauso auf wie das Erzeugendensystem ;-)

LG